阿波羅尼斯圓

所謂阿波羅尼斯圓有四種完全不同的定義

1. 到兩個定點的距離之比為常數 的所有點的集合（Durell 1928，Ogilvy 1990）。

2. 同時與三個給定圓相切的八個圓之一（即，解決三個圓的阿波羅尼斯問題的圓）。

3. 透過三角形的一個頂點和兩個等力點 和 的三個圓之一（Kimberling 1998，第 68 頁）。

4. 與三角形的所有三個旁切圓相切幷包含它們的圓（Kimberling 1998，第 102 頁）。

給定三角形的一條邊以及另外兩條邊的長度之比，第三個多邊形頂點的軌跡是阿波羅尼斯圓（第一種型別），其圓心在給定邊的延長線上。對於給定的三角形，有三個阿波羅尼斯圓。將三角形的三個阿波羅尼斯圓（第一種型別）表示為 、 和 ，它們的圓心為 、 和 。圓心 是邊 與外接圓在 處的切線的交點。 也是外心線交點 關於外接圓的極點。圓心 、 和 在關於 關於其外接圓的極線上共線，稱為勒穆瓦納軸。阿波羅尼斯圓 也是垂足三角形為等腰三角形的點的軌跡，使得 。

第二種型別的八個阿波羅尼斯圓如上圖所示。

設 和 是三角形 的邊線 上的點，由角 角 的內角和外角平分線相交而成。那麼以 直徑 的圓稱為 -阿波羅尼斯圓。類似地，構造 - 和 -阿波羅尼斯圓（Johnson 1929，第 294-299 頁）。阿波羅尼斯圓穿過頂點 、 和 ，以及兩個等力點 和 （Kimberling 1998，第 68 頁）。-阿波羅尼斯圓的圓心具有三線座標

(1)

和半徑

(2)

其中 是參考三角形的外接圓半徑。

由於阿波羅尼斯圓兩兩相交於等力點，它們共享一條公共根軸

(3)

即中心線 ，對應於Kimberling 中心 ，基佩爾特拋物線焦點 的等角共軛點。

D-三角形的頂點位於各自的阿波羅尼斯圓上。

與三角形的所有三個旁切圓相切幷包含它們的圓通常被稱為“阿波羅尼斯圓”（Kimberling 1998，第 102 頁）。它具有圓函式

(4)

對應於Kimberling 中心 。它的圓心具有三角形中心函式

(5)

即Kimberling 中心 。它的半徑是

(6)

其中 是內切圓半徑， 是參考三角形的半周長。它可以構造為九點圓關於與參考三角形的旁切圓正交的圓的反演影像。它是一個塔克圓（Grinberg 和 Yiu 2002）。

Kimberling 中心 對於 、2038、3029、3030、3031、3032、3033 和 3034 位於阿波羅尼斯圓上。它也與斯特凡諾維奇圓正交。