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特殊仿射曲率

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特殊仿射曲率，也稱為等仿射曲率或仿射曲率，是平面曲線的一種曲率，在特殊仿射變換下保持不變。

對於由 (x(t),y(t)) 引數化的平面曲線，特殊仿射曲率由下式給出

k(t)=(x^('')y^(''')-x^(''')y^(''))/((x^'y^('')-x^('')y^')^(5/3))-1/2[1/((x^'y^('')-x^('')y^')^(2/3))]^('')
(1)
=(4(x^('')y^(''')-x^(''')y^(''))+(x^'y^('''')-x^('''')y^'))/(3(x^'y^('')-x^('')y^')^(5/3))-5/9((x^'y^(''')-x^(''')y^')^2)/((x^'y^('')-x^('')y^')^(8/3))
(2)

(Blaschke 1923, Guggenheimer 1977)，其中撇號表示關於 t 的微分。對於曲線 y=y(x) 這簡化為

k=-1/2(1/((y^(''))^(2/3)))^('')
(3)
=1/3(y^(''''))/((y^(''))^(5/3))-5/9((y^('''))^2)/((y^(''))^(8/3))
(4)

(Blaschke 1923, Shirokov 1988)，其中撇號表示關於 x 的微分。

下表總結了一些曲線的特殊仿射曲率。

曲線引數化k(t)
懸鏈線(t,acosh(t/a))(4-cosh((2t)/a))/(9a^(4/3)cosh^(8/3)(t/a))
圓(acost,asint)a^(-4/3)
橢圓(acost,bsint)(ab)^(-2/3)
雙曲線(asect,btant)-(ab)^(-2/3)
拋物線(2at,at^2)0

另請參閱

曲率, 特殊仿射變換

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參考文獻

Blaschke, W. Affine Differentialgeometrie, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie. Berlin: Springer-Verlag, 1923.Guggenheimer, H. Differential Geometry. New York: Dover, 1977.Shirokov, A. P. "Affine Curvature." In Hazewinkel, M. (Managing Ed.). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia." Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1988.

在 中被引用

特殊仿射曲率

請引用為

Weisstein, Eric W. "Special Affine Curvature." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/SpecialAffineCurvature.html

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