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密切圓


OsculatingCirclesDeltoid
Osculating circles of a deltoid

曲線 C 在給定點 P 的密切圓是與曲線 C 在點 P 處具有相同切線和相同曲率的圓。正如切線是點 P 處曲線的最佳線性近似,密切圓是點 P 處曲線的最佳圓形近似 (Gray 1997, p. 111)。

忽略退化曲線(如直線),給定曲線上給定點的密切圓是唯一的。

給定一個由引數方程 (f(t),g(t)) 引數化且引數為 t 的平面曲線,密切圓的半徑就是曲率半徑

 r=1/(|kappa(t)|),
(1)

其中 kappa(t)曲率,圓心正是對應於 P漸屈線上的一點,

x=f-((f^('2)+g^('2))g^')/(f^'g^('')-f^('')g^')
(2)
y=g+((f^('2)+g^('2))f^')/(f^'g^('')-f^('')g^').
(3)

這裡,導數是關於引數 t 求取的。

OsculatingCirclePoints

此外,令 C(t_1,t_2,t_3) 表示透過曲線 (f(t),g(t)) 上三個點且 t_1<t_2<t_3。那麼密切圓 C 由下式給出

 C=lim_(t_1,t_2,t_3->t)C(t_1,t_2,t_3)
(4)

(Gray 1997)。


參見

曲率, 漸屈線, 密切曲線, 曲率半徑, 切線

使用 探索

參考文獻

Gardner, M. "The Game of Life, Parts I-III." Chs. 20-22 in Wheels, Life, and other Mathematical Amusements. New York: W. H. Freeman, pp. 221, 237, and 243, 1983.Gray, A. "Osculating Circles to Plane Curves." §5.6 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 111-115, 1997.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, pp. 24-25, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 中被引用

密切圓

請引用為

韋斯坦, 埃裡克 W. "密切圓。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/OsculatingCircle.html

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