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第一萊莫恩圓

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FirstLemoineCircle

作直線 P_AQ_A, P_BQ_B, 和 P_CQ_C 透過 symmedian 點 K 且平行於三角形 DeltaABC 的邊。平行線與三角形 DeltaABC 的邊相交的點然後位於一個 圓 上，這個圓被稱為第一萊莫恩圓，或有時稱為三倍比率圓 (Tucker 1883; Kimberling 1998, p. 233)。

這個圓有圓函式

l=-(bc(b^2+c^2))/((a^2+b^2+c^2)^2),
(1)

對應於 Kimberling 中心 X_(141)，它是 symmedian 點的補點。它的中心位於 Brocard 中點 X_(182)，即 OK 的中點，其中 O 是外心，K 是 symmedian 點，以及半徑

R_L=1/2Rsecomega
(2)
=(abcsqrt(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2))/((a^2+b^2+c^2)sqrt((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c))),
(3)

其中 R 是外接圓半徑，r 是 內切圓半徑，且 omega 是原始三角形的 Brocard 角 (Johnson 1929, p. 274)。

Kimberling 中心 X_(1662) 和 X_(1664) （與 Brocard 軸 的交點）位於第一萊莫恩圓上。

第一萊莫恩圓和 Brocard 圓 是同心的，且三角形 DeltaQ_AP_CK, DeltaKQ_CP_B, 和 DeltaP_AKQ_B 相似於 DeltaACB (Tucker 1883)。

第一萊莫恩圓將任意邊分成與邊平方成比例的線段

A_BP_B:P_BQ_C:Q_CA_C=c^2:a^2:b^2.
(4)

此外，萊莫恩圓從邊上切下的弦與邊的平方成比例。

第一萊莫恩圓是 Tucker 圓 的一個特例。

參見

餘弦圓, 萊莫恩六邊形, 萊莫恩軸, Symmedian 點, 泰勒圓, 第三萊莫恩圓, Tucker 圓

使用 探索

參考文獻

Casey, J. "On the Equations and Properties--(1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane." Proc. Roy. Irish Acad. 9, 396-423, 1864-1866.Casey, J. "Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circle." Supp. Ch. §3 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 179-189, 1888.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 70, 1971.Gallatly, W. The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, p. 116, 1913.Honsberger, R. "The Lemoine Circles" and "The First Lemoine Circle." §9.2 and 9.5 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 88-89 and 94-95, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 273-275, 1929.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(182)=Midpoint of Brocard Diameter." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X182.Lachlan, R. "The Lemoine Circle." §131-132 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 76-77, 1893.Lemoine. Assoc. Français pour l'avancement des Sci. 1873.Tucker, R. "The 'Triplicate Ratio' Circle." Quart. J. Pure Appl. Math. 19, 342-348, 1883.

中引用

第一萊莫恩圓

引用為

Weisstein, Eric W. "First Lemoine Circle." 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/FirstLemoineCircle.html

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