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在一個1825年的算額問題中，提出了求半徑為
且與半徑為
的球體內切的圓柱體的側面表面積的問題。
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確定解決方案的最簡單方法是解以下聯立方程
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(1)
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![y^2+[z-(R-r)]^2=r^2](/images/equations/Cylinder-SphereIntersection/NumberedEquation2.svg) |
(2)
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求解
和
,
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(3)
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(4)
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這些給出了在這種情況下（左圖）維維亞尼曲線的引數方程。然後可以透過構造一系列彎曲的線段（右圖）找到表面積。圓柱體表面在高度為
處的弧長元素由下式給出
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(5)
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(6)
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然後，表面積的四分之一為
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(7)
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(8)
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(9)
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其中需要小心處理下限，
 |  | ![lim_(r^'->r^-)4r[sqrt(r(R-r))-sqrt((R-r)(r-r^'))]](/images/equations/Cylinder-SphereIntersection/Inline29.svg) |
(10)
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(11)
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總表面積為
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(12)
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Rothman (1998) 透過更迂迴的幾何論證獲得的結果。（請注意，Rothman 原文發表的答案不正確；更正後的答案已釋出在文章的 Internet 版本上。）
