Reidemeister 撓率

在代數拓撲中，Reidemeister 撓率最初是作為 3-流形的拓撲不變數引入的概念，現在已被廣泛應用於各種背景。在其被發現時，Reidemeister 撓率是第一個能夠區分同倫等價但不同胚的流形的 3-流形不變數。此後，這個概念已被應用於更高維的流形、紐結和鏈環、動力系統、Witten 方程等等。特別地，它在不同的背景下有許多不同的定義。

對於交換環 ，設 是形式為以下形式的基於有限生成自由 R-模的有限無環鏈復形

(1)

的 Reidemeister 撓率是由 定義的值，定義為

(2)

其中 是 的單位集， 是一個鏈收縮， 是邊界對映，並且

(3)

是從 到 的對映。在這種情況下，Reidemeister 撓率有時被稱為復形 的撓率 (Nicolaescu 2002)，並且可以被認為是行列式的矩陣的推廣 (Ranicki 1997)。

定義 Reidemeister 撓率的另一個常見背景是在 CW-復形 的情況下。從具有有限 CW-分解 的緊度量空間 開始，並考慮規範誘導的鏈復形 的自由阿貝爾群，

(4)

將 提升到最大阿貝爾 覆蓋 的 CW-分解 會產生一個相關的鏈復形 ，它具有 基。特別地，定義

(5)

其中 表示集合 的置換群，自由 -模的鏈復形 關於 -軌道 的 -基被稱為 的 Reidemeister 撓率。在這種情況下，Reidemeister 撓率是 的一個良好定義的元素。關於此構造的深入細節可以在例如 Nicolaescu (2002) 中找到。

Reidemeister 撓率有時被稱為 R-撓率或 Reidemeister-Franz 撓率。更重要的是，R-撓率與許多其他拓撲工具密切相關，包括Whitehead 撓率，並且 Cheeger 和 Müller 證明在緊黎曼流形的情況下，它與解析撓率完全相等。