鏈復形

鏈復形是一個對映序列

(1)

其中空間 可以是 阿貝爾群 或 模。這些對映必須滿足 。在隱式理解域的情況下，這些對映用 表示，稱為邊界運算元或微分。鏈復形是用於計算或定義同調的代數工具，並具有各種應用。上鍊復形用於上同調的情況。

的元素稱為鏈。對於每個 ， 的核被稱為閉鏈群，

(2)

字母 是德語單詞 "Zyklus"（迴圈）的縮寫。像 被包含在閉鏈群中，因為 。它被稱為邊緣群。

(3)

商群 是鏈的同調群。

例如，序列

(4)

其中每個空間都是 ，每個對映都由乘以 4 給出，這是一個鏈復形。每個階段的閉鏈是 ，邊緣是 。因此，每個階段的同調是兩個元素的群 。一個更簡單的例子由線性變換 給出，它可以擴充套件到由零向量空間和零對映組成的鏈復形。那麼，非平凡的同調群是 和 。

鏈復形的術語來自同調在拓撲空間（如流形）中幾何物件的計算。例如，在上圖中，令 和 表示點， 和 表示有向線段，它們是鏈。 的邊界是 ， 的邊界是 。

群 是自由阿貝爾群 ，群 是自由阿貝爾群 。邊界運算元是

(5)

其他群 是平凡群，其他對映是零對映。那麼 由 生成， 是平凡子群。因此 是秩為 1 的自由阿貝爾群，同構於 。零維情況稍微有趣一些。 的每個元素都沒有邊界，因此都在 中，而邊緣 由 生成。因此， 也同構於 。請注意，結果不受圓被切割成多少塊或使用多少切割次數的影響。