Whitehead 撓率

設 為一對，由 有限、連通的 CW-復形 組成，其中 是 的子復形。定義關聯的 鏈復形 群 式地，對於每個 ，透過設定

(1)

其中 表示具有 奇異同調 和 整數 係數的同調，並且其中 表示 的所有 胞腔 的 並集，其 維度 小於或等於 。 請注意， 是 自由阿貝爾群，對於 -胞腔 的每個 生成元， 的。

接下來，考慮 的 萬有覆蓋 復形 和 。 的 基本群 可以被識別為 覆蓋變換 的 群 ，因此每個 確定了一個 對映

(2)

然後，這會匯出 鏈同態

(3)

鏈同態 將每個鏈群 轉換為 模 在 群環 上，它是 -自由模，對於 -胞腔 的每個 ，它有一個生成元，並且由於 的有限性，它是關於 有限生成的。

因此，存在一個自由 鏈復形

(4)

在 上，其 同調群 為零，因為 形變收縮 到 上。 一個簡單的論證表明，對於每個 ，存在所謂的首選 基 （Milnor），由此可以將 Whitehead 撓率定義為復形 在 Whitehead 商群 中的撓率 的 像。

值得注意的是，Whitehead 撓率是 Reidemeister 撓率 的明顯推廣，前者被定義為 阿貝爾群 元素，而不是像後者那樣的 代數數。 專家指出，Reidemeister 撓率 的研究此後已歸入 Whitehead 撓率的研究中 (Ranicki 1997)，而 Whitehead 撓率為考察具有非平凡基本群的可微和組合流形提供了一個基本工具。