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點陣

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LatticePoints

點陣是規則間隔排列的點陣列。

在平面中，可以構建具有正方形、矩形、六邊形等形狀的晶胞的點陣。除非另有說明，否則點陣可以指正方形陣列中的點，即座標為 (m,n,...) 的點，其中 m、 n、... 是 整數。 這種陣列通常被稱為 網格 或 網狀結構。

點陣通常簡稱為“格子”，但這不幸地與應用於 格理論 中處理的有序集的同一術語相沖突。每個“點陣”都是在從平面繼承的排序下的格，儘管點陣可能不是平面的子格，因為平面中的下確界運算不需要與點陣中的下確界運算一致。另一方面，許多格不是點陣。

格的屬性在 Wolfram 語言 中實現為LatticeData[lattice, prop].

Point lattice

形式上，假設一個格包含原點，則它是 歐幾里得空間 的 離散 子群。 也就是說，一個格在加法和逆運算下是封閉的，並且每個點都有一個鄰域，其中它是唯一的格點。 常見的例子是 Z subset R 和 Z^2 subset R^2。 通常，格被定義為具有滿秩，即 R^n 中的格是 子群

{a_1v_1+...a_nv_n},
(1)

其中 a_i 是整數，v_i 是 線性無關 的向量。 請注意，一個格最多需要 n 個元素來生成它。 例如，子群 {a_1+a_2sqrt(2)} subset R 需要兩個生成元，但不是 離散 的，也不是格。 上圖說明了由 1 和 1/sqrt(2) 生成的子群不是格，透過顯示連續的 a+b/sqrt(2)，其中 b in [0,1]。

從 原點 可見 的格點 比例，如 Castellanos（1988，第 155-156 頁）推導的那樣，是

(N^'(r))/(N(r))=((24)/(pi^2)r^2+O(rlnr))/(4r^2+O(r))
(2)
=(6/(pi^2)+O((lnr)/r))/(1+O(1/r))
(3)
=6/(pi^2).
(4)

因此，這也是兩個隨機選擇的整數彼此 互質 的機率。

對於 2<=n<=32，可以選擇 2n 個格點，其中 x,y in [1,n]，使得沒有三個點在一條直 線 上。 對於 n=2，3，... 的不同解（不包括反射和旋轉）的數量為 1, 1, 4, 5, 11, 22, 57, 51, 156 ... (OEIS A000769)。 對於大的 n，據推測，最多隻能選擇 (c+epsilon)n 個格點，且沒有三個點 共線，其中

c=(2pi^2/3)^(1/3) approx 1.87
(5)

（Guy 和 Kelly 1968；Guy 1994，第 242 頁）。 n^2 個格點 x,y in [1,n] 中，可以選擇沒有四個點 共圓 的點數為 O(n^(2/3)-epsilon) (Guy 1994，第 241 頁)。

PointLatticeParallelograms

在格子上，其中兩個對邊長度均為 1 的任何 平行四邊形 都具有單位面積（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 33-34 頁）。

在規則格子上定義的一組特殊的 多邊形 是 golygons。 線性變換將格變換為自身的 必要 和 充分 條件是它是 單模 的。 M. Ajtai 已經證明，除非存在用於所有生成向量的有效演算法（目前尚不知道），否則沒有有效的 演算法 可以找到格子中一組生成向量的任何一部分，使其具有最短的長度。 這一結果對密碼學和身份驗證具有潛在的應用（Cipra 1996）。

另請參閱

Barnes-Wall 格, Blichfeldt 定理, Browkin 定理, 圓格點, Coxeter-Todd 格, Ehrhart 多項式, 橢圓曲線, 高斯圓問題, Golygon, 積分格, Jarnick 不等式, 格路, 格和, Leech 格, 閔可夫斯基凸體定理, 模格, N-簇, Nosarzewska 不等式, Pick 定理, 隨機遊走, Schinzel 定理, 施羅德數, 環面, 單位格, 可見點, Voronoi 多邊形

此條目的部分內容由 Matt Insall 貢獻 (作者連結)

此條目的部分內容由 Todd Rowland 貢獻

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. 解析數論導論。 紐約：施普林格出版社，1995 年。Castellanos, D. "無處不在的 Pi。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Cipra, B. "格可能為安全程式碼奠定更堅實的基礎。" Science 273, 1047-1048, 1996.Eppstein, D. "格理論和數的幾何。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/lattice.html. Gardner, M. "整數格。" 第 21 章，來自科學美國人的數學遊戲第六本書。 芝加哥，伊利諾伊州：芝加哥大學出版社，第 208-219 頁，1984 年。Guy, R. K. "高斯格點問題"、"具有不同距離的格點"、"圓上沒有四個格點" 和 "無三點共線問題"。 §F1、F2、F3 和 F4，數論中未解決的問題，第二版。 紐約：施普林格出版社，第 240-244 頁，1994 年。Guy, R. K. 和 Kelly, P. A. "無三點共線問題。" Canad. Math. Bull. 11, 527-531, 1968.Hammer, J. 關於格點的未解決問題。 倫敦：皮特曼，1977 年。Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. "點的規則系統。" 第 2 章，幾何與想象。 紐約：切爾西，第 32-93 頁，1999 年。Knupp, P. 和 Steinberg, S. 網格生成基礎。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1994 年。Nagell, T. "格點和點陣。" §11，數論導論。 紐約：威利，第 32-34 頁，1951 年。Sloane, N. J. A. 序列 A000769/M3252，在 "整數序列線上百科全書" 中。Thompson, J. F.; Soni, B.; 和 Weatherill, N. 網格生成手冊。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1998 年。

在 中被引用

點陣

引用為

Insall, Matt; Rowland, Todd; 和 Weisstein, Eric W. "點陣。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PointLattice.html

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