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可見點


VisiblePoints

如果連線兩個格點 (x,y)(x^',y^') 的線段不包含其他格點,則稱它們是互為可見的。這對應於 (x^'-x,y^'-y)=1 的要求,其中 (m,n) 表示最大公約數。上面的圖表顯示了從原點可見的最初幾個點。

VisiblePoints1
VisiblePoints1

如果在二維空間中隨機選擇一個格點,則它從原點可見的機率為 6/pi^2。 這也是隨機選擇的兩個整數的機率。如果在 n 維空間中隨機選擇一個格點,則它從原點可見的機率為 1/zeta(n),其中 zeta(n)黎曼zeta函式

InvisibleSquares

不可見圖形是一個多邊形,其所有頂點(在網格上限制時可能具有退化邊)從原點都不可見。存在每種有限形狀的不可見集合。在 0<x<y 的正方形網格上,邊長為 1 和 2 的不可見正方形的左下角分別位於 (20, 14) 和 (54, 20),它們具有最小的 x 座標。第一個 3×3 不可見正方形的左下角位於 (42273, 35397) (E. Weisstein, 2009 年 3 月 1 日)。

InvisibleSquarePositions

最初幾個 1×1 不可見正方形出現在 (20,14), (35,14), (35,20), (54,44), (65,39), ... (OEIS A157426A157427)。最初幾個 2×2 不可見正方形出現在 (54,20), (174,98), (550,114), (574,368), (588,494), ... (OEIS A157428A157429)。上面繪製了前 1000 個此類正方形的這兩個集合。

InvisibleBox

左下角位於 (1308, 1274) 的實心正方形是第一個 2×20<x<y 的正方形,它是完全不可見的,因為除了邊緣中點和頂點外,其內部點也是不可見的。


另請參見

歐幾里得果園, 格點, 果園種植問題, 果園可見性問題, 互質, 黎曼zeta函式

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參考文獻

Apostol, T. §3.8 in 解析數論導論 New York: Springer-Verlag, 1976.Asano, T.; Ghosh, S. K.; and Shermer, T. C. "Visibility in the Plane." Ch. 19 in 計算幾何手冊 (Ed. J.-R. Sack and J. Urrutia). Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 829-876, 2000.Baake, M.; Grimm, U.; and Warrington, D. H. "Some Remarks on the Visible Points of a Lattice." J. Phys. A: Math. General 27, 2669-2674, 1994.Baake, M.; Moody, R. V.; and Pleasants, P. A. B. "Diffraction from Visible Lattice Points and kth Power Free Integers." 19 Jun 1999. http://arxiv.org/abs/math.MG/9906132.Gardner, M. 科學美國人數學遊戲第六書 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 208-210, 1984.Gosper, R. W. and Schroeppel, R. Item 48 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 17, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item48.Herzog, F. and Stewart, B. M. "Patterns of Visible and Nonvisible Lattice Points." Amer. Math. Monthly 78, 487-496, 1971.Mosseri, R. "Visible Points in a Lattice." J. Phys. A: Math. Gen. 25, L25-L29, 1992.Schroeder, M. R. "A Simple Function and Its Fourier Transform." Math. Intell. 4, 158-161, 1982.Schroeder, M. R. 科學與通訊中的數論,第 2 版 New York: Springer-Verlag, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A157426, A157427, A157428, and A157429 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. 數學快照,第 3 版 New York: Dover, pp. 100-101, 1999.

在 中被引用

可見點

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Visible Point." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/VisiblePoint.html

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