隨機連線模型

隨機連線模型 (RCM) 是 連續滲流理論 的 圖論 模型，其特徵在於存在 平穩點過程 和 非增函式 ，它們共同確定了在 中各個 頂點 之間繪製 邊 的方法，其中 是某個維度。

在這種情況下，函式 被稱為連線函式，RCM 被稱為由 驅動。模型本身用 表示。

作為 的普通最近鄰 鍵滲流 的推廣，連續滲流的隨機連線模型應被視為 布林 模型和 布林-泊松模型 的對比鮮明的替代方案，在這兩個模型中，上述第二個條件被 隨機變數 替換。更準確地說，布林模型和布林-泊松模型透過構建 維 閉球，這些球 中心位於 的點，並分配由 確定的隨機 半徑 來展示 滲流；相反，RCM 使用圖論的概念，將來自 的點視為頂點，並在 對之間插入邊，機率 為 ，且與 中所有其他點對獨立，其中 表示 中的典型 歐幾里得距離。 然而，儘管這兩種方法存在差異，但它們是相似的，因為對於任何一種方法的數學精確表示都需要複雜的機制；RCM 的形式化構造如下。

設 是在 機率空間 上定義的 點過程。接下來，定義空間 為 乘積

(1)

其中乘積取自所有無序對 二進位制立方體，並定義與 關聯的常用 乘積測度 ，以便所有 邊緣機率 由 上的 勒貝格測度 給出。最後，定義 併為 配備乘積測度 。在此構造下，RCM 是從 到 的 可測對映，定義為

(2)

這裡， 表示 σ-代數 上所有計數測度的集合， 中的 Borel 集，它為所有有界 Borel 集分配有限測度，併為點分配最多為 1 的值。

然後，透過首先注意到每個點 包含在唯一階為 的二進位制立方體 中，並且對於每個 ，存在唯一的最小數 ，使得 不包含 的其他點，-幾乎必然。考慮到這一點，對於任意兩點 ，考慮二進位制立方體

(3)

和

(4)

分別地，由此點 和 被連線，當且僅當

(5)

其中 是用於表示元素 的符號。使用這種構造，可以得到 維歐幾里得空間中的頂點集合，這些頂點根據上述隨機過程連線。

隨機連線模型中使用的一些術語：點 和 之間的邊用無序對 表示， 稱為 的端點。如果存在一個有限序列，則稱 中的兩個點 是連線的

(6)

使得對於所有 ，邊 被插入，並且以典型的圖論方式，然後將分支定義為點集 ，該點集在任何兩點 彼此連線的屬性方面是最大的。原點的佔據分支用 表示，並被認為是該模型中布林模型中佔據分支概念的類似物。該模型沒有空缺分支概念的類似物。

上圖說明了隨機連線模型的實現，說明了與其相關的一些術語。在此圖中，分支 的形式為 ，其邊具有 、 和 的形式。