布林模型

在大多數現代文獻中，布林模型是連續滲流理論的機率模型，其特徵在於存在一個平穩點過程 和一個隨機變數 ，它們獨立地確定中心和半徑，構成 中一些閉球的集合，其中 是維度。

在這種情況下，該模型被稱為由 驅動。

值得注意的是，關於使用 和 構建可行模型的最直觀想法通常會導致意想不到和不良的結果（Meester 和 Roy 1996）。因此，需要更精密的機制和相當多的謹慎，才能將 和 的語言轉化為合理的連續滲流模型。正式的構建如下。

設 為如上所述的平穩點過程，並假設 定義在機率空間 上。接下來，定義空間 為乘積空間

(1)

並定義與 相關的通常乘積 σ-代數 和乘積測度 ，其中，所有邊緣機率由某個機率測度 在 上給出。最後，定義 ，賦予 乘積測度 和通常乘積 -代數。在此構造下，布林模型是從 到 的可測對映，由下式定義

(2)

其中， 表示 -代數 上所有計數測度的集合， 是 Borel 集，它為所有有界 Borel 集分配有限測度，並且為點 分配最多為 1 的值。

然後，透過首先定義 階的所謂二進位制立方體集合來過渡到滲流

(3)

對於所有 ，，並透過注意到每個點 包含在唯一的 階二進位制立方體中。此外，對於每個 ，存在唯一的最小數 使得 不包含 的其他點，-幾乎必然成立。這一事實允許人們將以 為中心的球的半徑 定義為

(4)

其中 是用於表示元素 的符號。使用這種構造，人們得到了一系列重疊的 維閉球，它們的半徑獨立於點過程 ，並且不同點的球具有獨立同分布的半徑。

以這種方式構造的一般布林模型通常表示為 或 ，可以互換使用。在 是密度為 的泊松過程的特殊情況下，測度 有時寫為 ，而事件 的機率則可以互換地寫為 或 。

在布林模型中，空間 被劃分為兩個區域，即佔用區域—— 中至少被一個球覆蓋的子集，表示為 ——及其補集，即空閒區域。這兩個區域是相似的，因為兩者都由連通分量組成（分別是佔用分量和空閒分量），並且符號 用於表示所有佔用分量的並集，這些分量與子集 有非空交集。對於 ，使用符號 ，並且在空閒的情況下，整個過程都使用相同的符號，用 代替 。在同一佔用分量中的兩個點 被稱為在佔用區域中連通，有時表示為

(5)

空閒區域中的連通性以類似的方式定義，並表示為

(6)

如果對於某個 ， 和 在 的同一佔用分量中，或者在 的同一空閒分量中，則使用符號 在 中，或者使用 在 中。

上圖說明了布林模型的實現，展示了與其相關的一些術語。在此圖中，陰影區域是 ，而較深的陰影區域是 。請注意，由於 非空，因此 為空。此外，連線 和 的路徑完全位於 中；這表明 位於 的同一空閒分量中，因此得出 在 中。

歷史上，術語布林模型也曾用於指代現在稱為布林-泊松模型的模型 (Hanisch 1981)。