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機率

機率是數學的一個分支，研究給定事件的可能結果以及結果的相對可能性和分佈。在日常用法中，“機率”一詞用於表示特定事件（或一組事件）發生的可能性，以線性尺度從 0（不可能）到 1（確定）表示，也表示為 0 到 100% 之間的百分比。對受機率支配的事件的分析稱為統計學。

對於機率的實際“含義”，有幾種相互競爭的解釋。頻率主義者將機率簡單地視為結果頻率的度量（更傳統的解釋），而貝葉斯主義者則更主觀地將機率視為一種統計程式，旨在根據觀察到的分佈來估計潛在分佈的引數。

一個適當歸一化的函式，為某個區間內每個可能的結果分配機率“密度”，稱為機率密度函式（或機率分佈函式），其累積值（連續分佈的積分或離散分佈的總和）稱為分佈函式（或累積分佈函式）。

隨機變數定義為服從給定機率定律的所有隨機變數的集合。通常用大寫字母（最常見的是 X）表示隨機變數。 X 可以取的所有值的集合然後稱為值域，表示為 R_X（Evans et al. 2000, p. 5）。 X 值域中的特定元素稱為分位數，表示為 x，而隨機變數 X 取元素 x 的機率表示為 P(X=x)。

機率被定義為服從某些假設，稱為機率公理。設樣本空間包含所有可能事件 E_i 的並集（ union ），因此

S=( union _(i=1)^NE_i),
(1)

並且設 E 和 F 表示 S 的子集。此外，設 F^'=not-F 為 F 的補集，因此

F union F^'=S.
(2)

那麼集合 E 可以寫成

E=E intersection S=E intersection (F union F^')=(E intersection F) union (E intersection F^'),
(3)

其中 intersection 表示交集。那麼

P(E)=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P[(E intersection F) intersection (E intersection F^')]
(4)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P[(F intersection F^') intersection (E intersection E)]
(5)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P(emptyset intersection E)
(6)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P(emptyset)
(7)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^'),
(8)

其中 emptyset 是空集。

設 P(E|F) 表示在 F 已經發生的情況下 E 的條件機率，那麼

P(E)=P(E|F)P(F)+P(E|F^')P(F^')
(9)
=P(E|F)P(F)+P(E|F^')[1-P(F)]
(10)
P(A intersection B)=P(A)P(B|A)
(11)
=P(B)P(A|B)
(12)
P(A^' intersection B)=P(A^')P(B|A^')
(13)
P(E|F)=(P(E intersection F))/(P(F)).
(14)

關係式

P(A intersection B)=P(A)P(B)
(15)

在 A 和 B 是獨立事件時成立。一個非常重要的結果指出

P(E union F)=P(E)+P(F)-P(E intersection F),
(16)

它可以推廣到

P( union _(i=1)^nA_i)=sum_(i)P(A_i)-sum^'_(ij)P(A_i intersection A_j)+sum^('')_(ijk)P(A_i intersection A_j intersection A_k)-...+(-1)^(n-1)P( intersection _(i=1)^nA_i).
(17)

另請參閱

貝葉斯定理, 條件機率, 可數可加性機率公理, 分佈函式, 獨立統計量, 似然, 機率公理, 機率密度函式, 機率不等式, 統計分佈, 統計學, 均勻分佈 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B. Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley, 2000.Everitt, B. Chance Rules: An Informal Guide to Probability, Risk, and Statistics. Copernicus, 1999.Goldberg, S. Probability: An Introduction. New York: Dover, 1986.Keynes, J. M. A Treatise on Probability. London: Macmillan, 1921.Mises, R. von Mathematical Theory of Probability and Statistics. New York: Academic Press, 1964.Mises, R. von Probability, Statistics, and Truth, 2nd rev. English ed. New York: Dover, 1981.Mosteller, F. Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. New York: Dover, 1987.Mosteller, F.; Rourke, R. E. K.; and Thomas, G. B. Probability: A First Course, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1970.Nahin, P. J. Duelling Idiots and Other Probability Puzzlers. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000.Neyman, J. First Course in Probability and Statistics. New York: Holt, 1950.Rényi, A. Foundations of Probability. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.Ross, S. M. A First Course in Probability, 5th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1997.Ross, S. M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. New York: Wiley, 1987.Ross, S. M. Applied Probability Models with Optimization Applications. New York: Dover, 1992.Ross, S. M. Introduction to Probability Models, 6th ed. New York: Academic Press, 1997.Székely, G. J. Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, rev. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1986.Todhunter, I. A History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace. New York: Chelsea, 1949.Weaver, W. Lady Luck: The Theory of Probability. New York: Dover, 1963.

在 上被引用

機率

引用為

Weisstein, Eric W. "機率。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Probability.html

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