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貝葉斯定理

設 A 和 B_j 為集合。條件機率 要求

P(A intersection B_j)=P(A)P(B_j|A),
(1)

其中 intersection 表示交集（“且”），並且也要求

P(A intersection B_j)=P(B_j intersection A)=P(B_j)P(A|B_j).
(2)

因此，

P(B_j|A)=(P(B_j)P(A|B_j))/(P(A)).
(3)

現在，設

S= union _(i=1)^NA_i,
(4)

因此 A_i 是 S 中的一個事件，並且當 i!=j 時，A_i intersection A_j=emptyset，那麼

A=A intersection S=A intersection ( union _(i=1)^NA_i)= union _(i=1)^N(A intersection A_i)
(5)
P(A)=P( union _(i=1)^N(A intersection A_i))=sum_(i=1)^NP(A intersection A_i).
(6)

但這可以寫成

P(A)=sum_(i=1)^NP(A_i)P(A|A_i),
(7)

因此

P(A_i|A)=(P(A_i)P(A|A_i))/(sum_(j=1)^NP(A_j)P(A|A_j))
(8)

(Papoulis 1984, pp. 38-39)。

另請參閱

條件機率，容斥原理，獨立統計，全機率定理

使用 探索

參考文獻

Papoulis, A. "Bayes' Theorem in Statistics" and "Bayes' Theorem in Statistics (Reexamined)." §3-5 and 4-4 in Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 38-39, 78-81, and 112-114, 1984.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 810, 1992.

請將此頁引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. “貝葉斯定理。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BayesTheorem.html

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