Tomita-Takesaki 理論

短語 Tomita-Takesaki 理論指的是在 泛函分析 領域內證明的關於 模 Hilbert 代數 理論的一組特定結果，特別是關於 von Neumann 代數 上 模自同構 構造的關鍵結果。這些結果最初由 Tomita 在 1967 年的兩篇未發表的論文中提出，並在 1970 年 Takesaki 的擴充套件闡述中公之於眾。一般構造如下。

給定 von Neumann 代數 在 Hilbert 空間 上，其中包含一個 向量 ，該向量對於 既是 迴圈的 又是 分離的，可以定義一個 運算元 在 上，透過令 對於所有 。這裡， 表示 的 對偶。一個直接的計算表明 擴充套件 到一個 閉 反線性 運算元 ，定義在 的一個 稠密 子集 上，並且透過對 應用所謂的 極分解，可以得到

對於唯一運算元 (稱為模運算元) 和 (稱為模共軛或模對合) 與 相關聯。此外， 是 自對偶的，因此 並且 對於每個 都是一個 酉 運算元。

在這種框架下，Tomita-Takesaki 理論基礎的主要結果表明，對於任何具有迴圈分離向量 的 von Neumann 代數 ，， 對於所有 ，並且 ，其中 是 有界 線性運算元 在 上的集合，這些運算元與 的所有元素 交換。此外，定義一個運算元 在元素 上，透過 並取 閉包 為 ，也得到 ，，以及 。

今天存在的 Tomita-Takesaki 模理論從上述結果以及 Tomita 最初提出的許多重要概念開始。從這個結果出發，可以考慮由酉運算元 ， 引起的 的單引數 自同構 集合 ，，透過定義

對於所有 和所有 。 這個集合構成了一個群，稱為 相對於 的模自同構群，這個群在包括泛函分析和數學物理在內的各個領域都起著重要的作用。

這個模自同構群與現代物理學之間相互作用的一個例子來自於每個 von Neumann 代數 都有一個自然誘導的狀態 ，它滿足許多關於上述定義的模自同構群的期望性質，其中最重要的是所謂的 Kubo-Martin-Schwinger 邊界條件。因此，模自同構群繼承了來自量子統計力學和其他相關領域的許多重要性質。