模組化希爾伯特代數

設 為在 域 上的 對合代數，其中 是 複數 域，對合 為 。如果 具有 內積 和一個單引數 自同構群 ，其中 是 上的 自同構，，滿足以下條件，則 是一個模組化希爾伯特代數。

1. .

2. 對於所有 ， 在 上是 有界的 (因此是 連續的)。

3. 線性張成 ，即 乘積 ， 的線性組合，是 的 稠密 子代數。

4. 對於所有 , , 滿足 。

5. .

6. .

7. 是 在 上的 整函式。

8. 對於每個 實數 ，集合 在 中是稠密的。

群 稱為模組化自同構群。

請注意，模組化希爾伯特代數的定義與 廣義希爾伯特代數 的定義密切相關，因為每個模組化希爾伯特代數都是廣義希爾伯特代數，前提是它滿足一個附加條件，即對合 作為實 內積空間 上的 線性運算元 是 可閉的。這種關係部分歸因於以下事實：這兩種結構的性質都位於 Tomita 最初對當今 Tomita-Takesaki 理論 核心內容的闡述之中。