左希爾伯特代數

設 是在 域 上的對合代數，其中 是複數域，具有對合 。如果 具有滿足以下條件的內積 ，則 是左希爾伯特代數。

1. 對於所有 ， 在 上是有界的。

2. .

3. 對合 是可閉的。

4. 乘積 （其中 ）的線性張成 是 的稠密 子代數。

左希爾伯特代數在歷史上被稱為廣義希爾伯特代數 (Takesaki 1970)。

泛函分析中的一個基本結果表明，如果左希爾伯特代數 上的對合對映 是關於內積 的反線性 等距同構，則 也是關於對合 的右希爾伯特代數。反之亦然。