馮·諾伊曼代數

給定一個 希爾伯特空間 ，-子代數 of 被稱為 中的馮·諾伊曼代數，當且僅當 等於其 雙交換子 (Dixmier 1981)。這裡， 表示從 到自身的 有界運算元 的 代數。

所謂的雙交換子定理的一個重要的推論指出，-非退化 的 子代數是馮·諾伊曼代數，當且僅當它是強閉的。這進一步等價於 和 的許多其他解析性質 (Blackadar 2013)，並且由於其雙射等價性，有時被用作馮·諾伊曼代數的定義。在一些文獻中， 是單位的假設（即， 包含單位元）被新增到這種等價性的假設中，但嚴格來說，該結果在 僅是非退化的情況下也成立。

人們可以很容易地證明，每個馮·諾伊曼代數都是一個 W-*-代數，反之亦然；因此，一些文獻將馮·諾伊曼代數定義為一個 C-*-代數 ，它承認一個 巴拿赫空間 作為預對偶。儘管這種約定並非聞所未聞，但在關於該主題的文獻中卻相對罕見。