正五邊形

正五邊形是具有五條邊的正多邊形，如上圖所示。

正五邊形頂點之間的一些距離關係可以透過上左圖中的相似三角形推導得出，

(1)

其中 是對角線距離。但是連線兩個不相鄰多邊形頂點的虛線垂直線段與對角線長度相同，因此

(2)

(3)

解二次方程並取正號（因為距離必須為正）得到黃金比例

(4)

相對於五邊形中心，內接於單位圓的正五邊形的頂點的座標如上圖所示，其中

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邊長為 的正五邊形的外接圓半徑、內切圓半徑、矢高和面積由下式給出

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其中 是黃金比例。邊長為 的正五邊形的高度由下式給出

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五個正五邊形可以圍繞一個相同的五邊形排列，形成“五角星雪花”的第一次迭代，它本身具有正五邊形的形狀，並移除了五個三角形楔形。對於邊長為 1 的五邊形，第一圈五邊形的中心半徑為 ，第二圈的半徑為 ，第 圈的半徑為 。

在命題 IV.11 中，歐幾里得展示瞭如何在圓內接一個正五邊形。托勒密在他的劃時代著作《天文學大成》中也給出了正五邊形的直尺和圓規作圖法。雖然托勒密的作圖法簡潔性為 16，但使用卡萊爾圓的幾何作圖法可以用作圖學符號 完成，其簡潔性為 15 (DeTemple 1991)。

以下優雅的正五邊形作圖法歸功於里士滿 (1893)。給定一個點，可以構造任意所需半徑的圓，並穿過圓心繪製直徑。將圓心稱為 ，直徑的右端點稱為 。可以透過找到垂直平分線來構造原始直徑的垂線。將這條垂線直徑的上端點稱為 。對於五邊形，找到 的中點並將其稱為 。繪製 ，並平分 ，將與 的交點稱為 。繪製 平行於 ，五邊形的前兩個點是 和 ，複製角 然後給出剩餘的點 、 和 (Coxeter 1969, Wells 1991)。

Madachy (1979) 說明了如何透過摺疊和打結紙條來構造正五邊形。