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有限群 C_2×C_2

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有限群 C_2×C_2 是階為 4 的兩個不同群之一。這個群的名稱來源於它是兩個 C_2 子群的群直積。與群 C_4 類似，C_2×C_2 是一個 阿貝爾群。然而，與 C_4 不同，它不是迴圈群。

對應於 C_2×C_2 的抽象群被稱為四元群。C_2×C_2 群的例子包括點群 D_2、C_(2h) 和 C_(2v)，以及模乘法群 M_8 和 M_(12)（以及沒有其他模乘法群）。M_8，即由 {1,3,5,7} 給出的與 8 互質的剩餘類，是 C_2×C_2 型別的群，這可以透過驗證以下條件來證明：

1^2=1 3^2=9=1 5^2=25=1 7^2=49=1 (mod 8)
(1)

並且

3·5=15=7 3·7=21=5 5·7=35=3 (mod 8).
(2)

因此，C_2×C_2 是一個 模乘法群。

FiniteGroupC2C2CycleGraph

迴圈圖如上所示。除了對於每個元素 A_i 滿足 A_i^4=1 外，它也滿足 A_i^2=1，其中 1 是單位元。

FiniteGroupC2C2Table

它的乘法表如上所示並在下面列出（Cotton 1990, p. 11）。

C_2×C_21ABC
11ABC
AA1CB
BBC1A
CCBA1

由於該群是阿貝爾群，因此共軛類為 {1}, {A}, {B}, 和 {C}。C_2×C_2 的非平凡真子群為 {I,A}, {I,B}, 和 {I,C}。

現在顯式地考慮 C_(2v) 點群的元素。

C_(2v)EC_2sigma_vsigma_v
EEC_2sigma_vsigma_v^'
C_2C_2Esigma_v^'sigma_v
sigma_vsigma_vsigma_v^'EC_2
sigma_v^'sigma_v^'sigma_vC_2E

用四元群元素表示

VIV_1V_2V_3
IIV_1V_2V_3
V_1V_1IV_3V_2
V_2V_2V_3IV_1
V_3V_3V_2V_1I

C_2×C_2 的迴圈指標為

Z(C_2×C_2)=1/2x_1^2+1/2x_2^2.
(3)

使用二維實矩陣的可約表示是

1=[1 0; 0 1]
(4)
A=[-1 0; 0 -1]
(5)
B=[0 1; 1 0]
(6)
C=[0 -1; -1 0].
(7)

可以從 D_2 群（1, C_2(z), C_2(y), 和 C_2(x)）或 C_(2v) 群（1, C_2, sigma_v, 和 sigma_v^'）的對稱元素獲得另一個使用三維實矩陣的可約表示。將 C_2 軸放置在 z軸上，sigma_v 放置在 x-y 平面上，以及 sigma_v^' 放置在 y-z 平面上。

1=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
(8)
A=R_x(pi)=sigma_v=[1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
(9)
C=R_z(pi)=C_2=[-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
(10)
B=R_y(pi)=sigma_v^'=[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1].
(11)

為了找到不可約表示，請注意跡由 chi(1)=3,chi(C_2)=-1, 和 chi(sigma_v)=chi(sigma_v^')=1. 給出。因此，至少有三個不同的共軛類。然而，我們從乘法表中看到，實際上有四個共軛類，因此群規則 5 要求必須有四個不可約表示。根據群規則 1，我們正在尋找滿足以下條件的正整數

l_1^2+l_2^2+l_3^2+l_4^2=4.
(12)

唯一可行的組合是

l_1=l_2=l_3=l_4=1,
(13)

因此，有四個一維表示。群規則 2 要求平方和等於群階 h=4，因此每個一維表示必須具有群特徵標 +/-1。群規則 6 要求完全對稱表示始終存在，因此我們可以從第一個表示都為 1 開始。然後，我們使用正交性（群規則 3）來構建其他表示。然後，最簡單的解由下式給出

C_(2v)1C_2sigma_vsigma_v^'
Gamma_11111
Gamma_21-1-11
Gamma_31-11-1
Gamma_411-1-1

透過切換 Gamma_1 和 Gamma_3，這些可以放入更熟悉的形式，從而給出特徵標表

C_(2v)1C_2sigma_vsigma_v^'
Gamma_31-11-1
Gamma_21-1-11
Gamma_11111
Gamma_411-1-1

對應於此表示的矩陣現在是

1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(14)
C_2=[-1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(15)
sigma_v=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 -1]
(16)
sigma_v^'=[-1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 -1],
(17)

它由先前的表示和一個附加分量組成。這些矩陣現在是正交的，並且階數等於矩陣維度。和以前一樣，chi(sigma_v)=chi(sigma_v^')。

另請參閱

迴圈群, 迴圈群 C2, 迴圈群 C4, 二面體群, 有限群, 有限群 C2×C_2×C_2

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 244-245, 1985.Cotton, F. A. Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed. New York: Wiley, 1990.

請引用為

Weisstein, Eric W. "有限群 C_2×C_2." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FiniteGroupC2xC2.html

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