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階乘和

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階乘冪和函式定義為

sf^p(n)=sum_(k=1)^nk!^p.
(1)

對於 p=1,

sf^1(n)=sum_(k=1)^(n)k!
(2)
=(-e+Ei(1)+pii+E_(n+2)(-1)Gamma(n+2))/e
(3)
=(-e+Ei(1)+R[E_(n+2)(-1)]Gamma(n+2))/e,
(4)

其中 Ei(z) 是 指數積分， Ei(1) approx 1.89512 (OEIS A091725), E_n 是 En 函式， R[z] 是 實部 z, 並且 i 是 虛數。 前幾個值是 1, 3, 9, 33, 153, 873, 5913, 46233, 409113, ... (OEIS A007489)。 sf^1(n) 不能寫成超幾何項加上常數的形式 (Petkovšek et al. 1996)。 此形式的唯一素數是 sf_1(2)=3, 因為

sf^1(n)=(1!+2!+3!+...+n!)
(5)
=(1+2+3sum_(k=3)^(n)(k!)/3)
(6)
=3(1+sum_(k=3)^(n)(k!)/3)
(7)

對於 n>2，始終是 3 的倍數。

事實上，對於 n>1 且 p=3, 5, 7, ...，sf^p(n) 可被 3 整除 (因為由前兩項 1!^n+2!^n=2^n+1 給出的 Cunningham 數 始終可以被 3 整除——隨後的項 n>=3 中的所有階乘冪也是如此)，因此不包含素數，這意味著偶數 p 的序列是唯一的素數競爭者。

總和

sf^2(n)=sum_(k=1)^n(k!)^2
(8)

似乎沒有簡單的閉合形式，但其對於 n=1, 2, ... 的值是 1, 5, 41, 617, 15017, 533417, 25935017, ... (OEIS A104344)。 對於索引 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 18, 21, 42, 51, 91, 133, 177, 182, 310, 3175, 9566, 32841, ... (OEIS A100289) 它是素數。 由於對於 n>=1248828，sf^2(n) 可被 1248829 整除，因此這樣的素數只能有有限個。（然而，最大的此類素數尚不清楚，考慮到 sf^2(1248829) 具有超過 1400 萬個十進位制數字，這並不奇怪。）

對於 n>=12，sf^4(n) 可被 13 整除，並且 n<12 的唯一素數是 sf^4(2)=17。

sf^6(n) 的情況稍微有趣一些，但對於 n>=1090，sf^6(n) 可被 1091 整除，並且檢查低於該值的項，得出唯一的素數項為 n=5, 34 和 102 (OEIS A289947)。

由於對於 n>=12，sf^8(n) 可被 13 整除，因此 sf^8(n) 中唯一的素數是針對 n=2 的情況。

類似地，由於對於 n>=40，sf^(10)(n) 可被 41 整除，因此 sf^(10)(n) 中唯一的素數是針對 n=3, 4, 5, 16 和 25 (OEIS A290014) 的情況。

使得對於 n>=a_k-1，sf^(2k)(n) 可被 a_k 整除的最小（素數）數 a_k 的序列對於 k=1, 2, ... 由 1248829, 13, 1091, 13, 41, 37, 463, 13, 23, 13, 1667, 37, 23, 13, 41, 13, 139, ... (OEIS A290250) 給出。

索引從 0 而不是 1 開始的相關總和有時表示為 L!n（不要與 子階乘 混淆），並被稱為 左階乘，

L!n=sum_(k=0)^nk!.
(9)

具有交替項的相關總和被稱為 交錯階乘，

a(n)=sum_(k=1)^n(-1)^(n-k)k!.
(10)

總和

sum_(k=1)^nkk!=(n+1)!-1
(11)

具有簡單的形式，前幾個值是 1, 5, 23, 119, 719, 5039, ... (OEIS A033312)。

階乘和滿足的恆等式包括

sum_(k=0)^(infty)1/(k!)=e=2.718281828...
(12)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!)=e^(-1)=0.3678794411...
(13)
sum_(k=0)^(infty)1/((k!)^2)=I_0(2)=2.279585302...
(14)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((k!)^2)=J_0(2)=0.2238907791...
(15)
sum_(k=0)^(infty)1/((2k)!)=cosh1=1.543080634...
(16)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k)!)=cos1=0.5403023058...
(17)
sum_(k=0)^(infty)1/((2k+1)!)=sinh1=1.175201193...
(18)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k+1)!)=sin1=0.8414709848...
(19)

(OEIS A001113, A068985, A070910, A091681, A073743, A049470, A073742, 和 A049469; Spanier 和 Oldham 1987)，其中 I_0(x) 是 第一類修正貝塞爾函式， J_0(x) 是 第一類貝塞爾函式， coshx 是 雙曲餘弦， cosx 是 餘弦， sinhx 是 雙曲正弦，並且 sinx 是 正弦。

階乘 冪 和包括

sum_(n=0)^(infty)((n!)^2)/((2n)!)=2/(27)(18+sqrt(3)pi)
(20)
=1.73639985...
(21)
sum_(n=0)^(infty)((n!)^3)/((3n)!)=_3F_2(1,1,1;1/3,2/3;1/(27))
(22)
=1.17840325...
(23)

(OEIS A091682 和 A091683) 並且，一般來說，

sum_(n=0)^infty((n!)^k)/((kn)!)=_kF_(k-1)(1,...,1_()_(k);1/k,2/k,...,(k-1)/k;1/(k^k)).
(24)

Schroeppel 和 Gosper (1972) 給出了積分表示

sum_(n=0)^infty((n!)^3)/((3n)!)=int_0^1[P(t)+Q(t)cos^(-1)R(t)]dt,
(25)

其中

P(t)=(2(8+7t^2-7t^3))/((4-t^2+t^3)^2)
(26)
Q(t)=(4t(1-t)(5+t^2-t^3))/((4-t^2+t^3)^2sqrt((1-t)(4-t^2+t^3)))
(27)
R(t)=1-1/2(t^2-t^3).
(28)

只有四個 整數 等於其數字的階乘之和。 這樣的數字稱為 階乘數字。

雖然沒有大於 1! 的階乘是 平方數，但 D. Hoey 列出了給出 平方數 的不同階乘的 <10^(12) 和，而 J. McCranie 給出了小於 21!=5.1×10^(19) 的一個額外和

0!+1!+2!=2^2
(29)
1!+2!+3!=3^2
(30)
1!+4!=5^2
(31)
1!+5!=11^2
(32)
4!+5!=12^2
(33)
1!+2!+3!+6!=27^2
(34)
1!+5!+6!=29^2
(35)
1!+7!=71^2
(36)
4!+5!+7!=72^2
(37)
1!+2!+3!+7!+8!=213^2
(38)
1!+4!+5!+6!+7!+8!=215^2
(39)
1!+2!+3!+6!+9!=603^2
(40)
1!+4!+8!+9!=635^2
(41)
1!+2!+3!+6!+7!+8!+10!=1917^2
(42)

和

1!+2!+3!+7!+8!+9!+10!+11!+12!+13!+14!+15!=1183893^2
(43)

(OEIS A014597)。

分子中具有索引冪，分母中具有 階乘 乘積的和通常可以用 正則化超幾何函式 _pF^~_q 進行解析求解，例如

sum_(k=0)^N1/((k+m)!(k+n)!)=_1F^~_2(1;m+1,n+1;1) -_1F^~_2(1;m+N+2;n+N+2;1) sum_(k=0)^N1/((m+k)!(n-k)!)=(_2F^~_1(1,-n;m+1;-1))/(Gamma(n+1)) -(_2F^~_1(1,-n+N+1;m+N+2;-1))/(Gamma(n-N)).
(44)

另請參閱

交錯階乘, 二項式和, 階乘, 階乘積, 整數序列素數, 左階乘, 子階乘

使用 探索

參考文獻

Guy, R. K. "階乘的相等乘積"、"階乘的交替和" 和 "涉及階乘 n 的方程。" §B23, B43, 和 D25 在 數論中未解決的問題，第 2 版。 紐約: Springer-Verlag, pp. 80, 100, 和 193-194, 1994.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Schroeppel, R. 和 Gosper, R. W. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的專案 116 HAKMEM. Cambridge, MA: MIT 人工智慧實驗室, 備忘錄 AIM-239, p. 54, 2 月. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item116.Sloane, N. J. A. 序列 A001113/M1727, A007489/M2818, A014597, A033312, A049469, A049470, A068985, A070910, A073742, A073743, A091681, A091682, A091683, A091725, A100289, A104344, 和 A290250 在 "整數序列線上百科全書" 中.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "階乘函式 n! 及其倒數。" 第 2 章 在 函式圖集。 華盛頓特區: Hemisphere, pp. 19-33, 1987.

在 上引用

階乘和

請引用為

Weisstein, Eric W. "階乘和。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FactorialSums.html

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