交錯階乘

交錯階乘定義為具有交替符號的連續階乘的總和，

(1)

它們可以用閉合形式表示為

(2)

其中 是指數積分， 是En 函式，並且 是伽瑪函式。

交錯階乘在 Wolfram 語言中實現為AlternatingFactorial[n].

一個簡單的關於 的遞推方程為

(3)

其中 。

對於 , 2, ..., 前幾個值是 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, ... (OEIS A005165)。

使得 為（可能的）素數的前幾個 值是 , 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164, 43592, 59961, ... (OEIS A001272；擴充套件了 Guy 1994, p. 100)。Živković (1999) 已經證明這種素數的數量是有限的。 在 2000 年 7 月被 G. La Barbera 和其他使用 Marcel Martin 開發的 Certifix 程式的團隊驗證為素數。

下表總結了已知的最大交錯階乘可能素數。M. Rodenkirch 在 2017 年 12 月完成了高達 的搜尋，表明在該限制範圍內沒有更多的（可能的）素數。

	十進位制位數	發現者
11164	40344	P. Jobbing，2004 年 11 月 25 日
43592	183312	S. Balatov，2017 年 7 月 19 日
59961	260448	M. Rodenkirchen，2017 年 9 月 18 日