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階乘積

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對於 n=1, 2, ...，product_(k=1)^(n)k! 的前幾個值（稱為超階乘）由 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... 給出 (OEIS A000178)。

可以寫成階乘積的前幾個正整數是 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, ... (OEIS A001013)。

對於 n=1, 2, ...，n! 作為每個大於 1 的較小階乘的乘積的方式的數量由 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, ... 給出 (OEIS A034876)，並且不超過 n! 的階乘乘積的數量為 1, 2, 4, 8, 15, 28, 49, 83, ... (OEIS A101976)。

唯一已知的階乘，它們是三個或更多項的等差數列中的階乘的乘積是

0!1!2!=2!
(1)
1!3!5!=6!
(2)
1!3!5!7!=10!
(3)

(Madachy 1979)。

唯一的解是

1!3!5!...(2n-1)!=m!
(4)

是

1!3!=3!
(5)
1!3!5!=6!
(6)
1!3!5!7!=10!
(7)

(Cucurezeanu 和 Enkers 1987)。

對於 r>=2 且 a_i>=a_j>=2 對於 i<j，對於 n<=18160，不存在非平凡的 形式 的恆等式

n!=a_1!a_2!...a_r!
(8)

除了

9!=7!3!3!2!
(9)
10!=7!6!
(10)
=7!5!3!
(11)
16!=14!5!2!
(12)

(Madachy 1979; Guy 1994, p. 80)。這裡，“非平凡”意味著排除具有 n=a_2!...a_r! 或等價地 a_1=n-1 的恆等式，因為存在許多這種形式的恆等式，例如，6!=5!3!。

對於 n，n! 可以寫成較小階乘的乘積的值是 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 24, ... (OEIS A034878)。

另請參閱

階乘, 階乘和

使用 探索

參考文獻

Cucurezeanu, I. 和 Enkers, D. "Problem E3063." Amer. Math. Monthly 94, 190, 1987.Guy, R. K. "Equal Products of Factorials," "Alternating Sums of Factorials," 和 "Equations Involving Factorial n." §B23, B43, 和 D25 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 80, 100, 和 193-194, 1994.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 174, 1979.Sloane, N. J. A. 序列 A000178/M2049, A001013/M0993, A034876, A034878, 和 A101976 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

階乘積

請引用為

Weisstein, Eric W. "階乘積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FactorialProducts.html

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