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電阻距離

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圖 G 中頂點 i 和 j 之間的電阻距離定義為當每個圖邊都被單位電阻器替換時，兩個頂點之間的有效電阻（如同在它們之間連線電池時）（Klein 和 Randić 1993，Klein 2002）。這種電阻距離是圖上的一個度量（Klein 2002）。

令 Omega_(ij) 為具有 n 個節點的連通圖 G 中頂點 i 和 j 之間的電阻距離，並定義

Gamma=L+(1)/n,
(1)

其中 L 是 G 的拉普拉斯矩陣，1 是單位 n×n 矩陣。那麼電阻距離矩陣由下式給出

(Omega)_(ij)=(Gamma)_(ii)^(-1)+(Gamma)_(jj)^(-1)-2(Gamma)_(ij)^(-1),
(2)

其中 A^(-1) 表示矩陣逆 (Babić 等人 2002)。這可以顯式地寫成

Omega=[2Gamma_(11)^(-1) Gamma_(11)^(-1)+Gamma_(22)^(-1) ... Gamma_(11)^(-1)+Gamma_(nn)^(-1); Gamma_(22)^(-1)+Gamma_(11)^(-1) 2Gamma_(22)^(-1) ... Gamma_(22)^(-1)+Gamma_(nn)^(-1); | | ... |; Gamma_(nn)^(-1)+Gamma_(11)^(-1) Gamma_(nn)^(-1)+Gamma_(22)^(-1) ... 2Gamma_(nn)^(-1)].
(3)

具有相同電阻距離集的圖被稱為電阻等價圖。最小的此類圖對具有九個頂點。

例如，四面體圖的電阻距離矩陣為

Omega(K_4)=[0 1/2 1/2 1/2; 1/2 0 1/2 1/2; 1/2 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 1/2 0]
(4)

而立方體圖的電阻距離矩陣由下式給出

Omega(Q_3)=[0 7/(12) 7/(12) 3/4 7/(12) 3/4 3/4 5/6; 7/(12) 0 3/4 7/(12) 3/4 7/(12) 5/6 3/4; 7/(12) 3/4 0 7/(12) 3/4 5/6 7/(12) 3/4; 3/4 7/(12) 7/(12) 0 5/6 3/4 3/4 7/(12); 7/(12) 3/4 3/4 5/6 0 7/(12) 7/(12) 3/4; 3/4 7/(12) 5/6 3/4 7/(12) 0 3/4 7/(12); 3/4 5/6 7/(12) 3/4 7/(12) 3/4 0 7/(12); 5/6 3/4 3/4 7/(12) 3/4 7/(12) 7/(12) 0].
(5)
ResistanceMatrixPlatonic

柏拉圖多面體圖的電阻距離 (Klein 2002) 總結在下表中，以公分母表示，並在上面以圖形方式說明。 Jeans (1925) 考慮了十二面體圖的情況。

立體分母排序後的電阻距離
立方體圖127, 9, 10
十二面體圖3019, 27, 32, 34, 35
二十面體圖3011, 14, 15
八面體圖125, 6
四面體圖21
ResistanceMatrixArchimedean

類似地，阿基米德立體的電阻距離在下面給出，並在上面以圖形方式說明。

立體分母排序後的電阻距離
立方八面體圖2411, 14, 15, 16
大斜方二十面截半十二面體圖267514380166172084, 173751140, 190646963, 221685105, 272372574, 295109742, 301338668, 320673518, 345148397, 354812283, 361971116, 369550172, 381064593, 390079665, 394156361, 403801761, 405280440, 413491211, 417927248, 423905327, 430313930, 431484383, 431615693, 435250932, 438762291, 442133634, 445951845, 447430524, 456438590, 457489082, 458175207, 462416669, 463372068, 470296886, 476034686, 476835425, 478444515, 478664382, 483745052, 485853936, 486805896, 493083218, 497108172, 497550579, 499061297, 502747440, 503089004, 505386815, 506941514, 509320803, 511182242, 513097181, 514936860, 515575173, 516510357, 517043121, 520894371, 521353535, 521707218, 522228251, 523782950, 525033803, 528672702, 529607886, 530101733, 531714147, 533238108, 535548332, 537089358, 538353884, 540120215, 540275613, 540864390, 541799574, 542466050
大斜方截半立方八面體圖10296063859, 65767, 72004, 84288, 102999, 108723, 113755, 118948, 127093, 129019, 130927, 130977, 136755, 137289, 140832, 142600, 143013, 146029, 147793, 151465, 151627, 153495, 154029, 154083, 155244, 158539, 158787, 160303, 162184, 162588, 163215, 163803, 164632
二十-十二面體圖18087, 122, 127, 140, 147, 152, 157, 160
小斜方二十面截半十二面體圖11484052543, 60383, 72548, 81253, 83903, 92075, 92185, 95313, 96068, 100983, 103003, 104443, 106023, 108848, 109713, 110795, 110905, 113423, 113653, 115208, 115823, 116623, 117180
小斜方截半立方八面體圖1680767, 843, 1028, 1071, 1133, 1229, 1263, 1292, 1323, 1343, 1368
扭稜立方體圖3801614137, 14316, 15137, 18995, 19063, 19248, 20069, 20143, 21661, 21803, 22068, 22099, 22691, 23023, 23171, 23244
扭稜十二面體圖7171620026954193, 27485504, 29823985, 37376431, 38225816, 40564297, 40882371, 40985079, 44358325, 45182813, 45417384, 45660607, 45978681, 46559183, 48175213, 48958491, 49240567, 49914079, 49964316, 50687019, 50856597, 51341449, 52281493, 52553379, 52608385, 52759287, 52770720, 53258901, 53486365, 54026481, 54238007, 54360689, 54538180, 55029105, 55182621, 55349725, 55370172
截角立方體圖6035, 45, 65, 77, 78, 80, 83, 87, 91, 93, 94
截角十二面體圖450267, 351, 519, 635, 640, 672, 731, 751, 755, 788, 810, 835, 863, 876, 890, 896, 907, 915, 920, 934, 946, 952, 955
截角二十面體圖2508016273, 16778, 23234, 24749, 27274, 29359, 29864, 31488, 32519, 33133, 33835, 34405, 34843, 35369, 36048, 36704, 36769, 37534, 37859, 38054, 38438, 38503, 38760
截角八面體圖1008625, 682, 810, 981, 1081, 1096, 1153, 1197, 1242, 1258, 1273, 1296
截角四面體圖3017, 21, 29, 32, 33

另請參閱

Foster 定理, 基爾霍夫指數, 基爾霍夫和指數, 電阻等價圖, 電阻網路, 維納和指數

使用 探索

參考文獻

Babić, D.; Klein, D. J.; Lukovits, I.; Nikolić, S.; 和 Trinajstić, N. "Resistance-Distance Matrix: A Computational Algorithm and Its Applications." Int. J. Quant. Chem. 90, 166-176, 2002.Devillers, J. 和 Balaban, A. T. (編). Topological Indices and Related Descriptors in QSAR and QSPR. Amsterdam, Netherlands: Gordon and Breach, pp. 81-82, 2000.Jeans, J. H. Chapter 9, Question 17 in The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, 5th ed. Cambridge, England: University Press, p. 337, 1925.Klein, D. J. 和 Randić, M. "Resistance Distance." J. Math. Chem. 12, 81-95, 1993.Klein, D. J. "Resistance-Distance Sum Rules." Croatica Chem. Acta 75, 633-649, 2002.Lukovits, I.; Nikolić, S.; 和 Trinajstić, N. "Resistance Distance in Regular Graphs." Int. J. Quan. Chem. 71, 217-225, 1999.Lukovits, I.; Nikolić, S.; 和 Trinajstić, N. "Note on the Resistance Distances in the Dodecahedron." Croatica Chem. Acta 73, 957-967, 2000.Palacios, J. L. "Closed-Form Formulas for Kirchhoff Index." Int. J. Quant. Chem. 81, 135-140, 2001.Xiao, W. 和 Gutman, I. "Resistance Distance and Laplacian Spectrum." Theor. Chem. Acc. 110, 284-289, 2003.

在 上被引用

電阻距離

引用為

Weisstein, Eric W. "電阻距離。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ResistanceDistance.html

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