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二次曲面

由一般方程給出的二階代數曲面

ax^2+by^2+cz^2+2fyz+2gzx+2hxy+2px+2qy+2rz+d=0.
(1)

二次曲面也稱為二次曲線，共有 17 種標準形式。二次曲面與每個平面的交線都是（真或退化的）圓錐曲線。此外，由固定點到二次曲面的所有切線組成的錐體與每個平面的交線都是圓錐曲線，並且該錐體與曲面的切點形成圓錐曲線（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 12 頁）。

二次曲面的例子包括錐體、圓柱體、橢球體、橢圓錐體、橢圓柱體、橢圓雙曲面、橢圓拋物面、雙曲柱面、雙曲拋物面、拋物面、球體和球狀體。

定義

e=[a h g; h b f; g f c]
(2)
E=[a h g p; h b f q; g f c r; p q r d]
(3)
rho_3=rank e
(4)
rho_4=rank E
(5)
Delta=det E,
(6)

和 k_1, k_2, 作為 k_3 是 ... 的根

|a-x h g; h b-x f; g f c-x|=0.
(7)

同樣定義

k={1 if the signs of nonzero ks are the same; 0 otherwise.
(8)

然後下表列舉了 17 種二次曲線及其性質 (Beyer 1987)。

曲面方程rho_3rho_4sgn(Delta)k
重合平面x^2=011
橢球體（虛）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=-134+1
橢球體（實）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=134-1
橢圓錐體（虛）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=0331
橢圓錐體（實）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=0330
橢圓柱體（虛）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=-1231
橢圓柱體（實）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1231
橢圓拋物面z=(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)24-1
雙曲柱面(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=-1230
雙曲拋物面z=(y^2)/(b^2)-(x^2)/(a^2)24+0
單葉雙曲面(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=134+0
雙葉雙曲面(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=-134-0
相交平面（虛）(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=0221
相交平面（實）(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=0220
拋物柱面x^2+2rz=013
平行平面（虛）x^2=-a^212
平行平面（實）x^2=a^212

在非退化的二次曲面中，橢圓（和普通）柱面、雙曲柱面、橢圓（和普通）錐面是直紋曲面，而單葉雙曲面和雙曲拋物面是雙重直紋曲面。

任意位置的兩個任意二次曲面的交線與任何平面的交點不能超過四個（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 24 頁）。

另請參閱

錐體, 共焦二次曲線, 三次曲面, 圓柱體, 雙重直紋曲面, 橢球體, 橢圓錐體, 橢圓柱體, 橢圓拋物面, 雙曲柱面, 雙曲拋物面, 雙曲面, 平面, 二次的, 四次曲面, 直紋曲面, 曲面

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 210-211, 1987.Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. "二階曲面。" §3 in 幾何與想象。 New York: Chelsea, pp. 12-19, 1999.Mollin, R. A. 二次曲線。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 上引用

二次曲面

引用為

Weisstein, Eric W. "二次曲面。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/QuadraticSurface.html

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