序數

在日常用法中，序數是一個形容詞，用來描述物體在數字上的位置，例如，第一，第二，第三等。

在形式集合論中，序數（有時簡稱“序”）是格奧爾格·康托爾對全體自然數的擴充套件中的一種數。序數被定義為良序集的序型別 (Dauben 1990, p. 199; Moore 1982, p. 52; Suppes 1972, p. 129)。有限序數通常用阿拉伯數字表示，而超限序數則用小寫希臘字母表示。

很容易看出，每個有限全序集都是良序的。任何兩個具有 個元素（其中 為非負整數）的全序集都是序同構的，因此具有相同的序型別（這也是一個序數）。有限集的序數表示為 0, 1, 2, 3, ..., 即比相應的非負整數小 1 的整數。

第一個超限序數，用 表示，是非負整數集合的序型別 (Dauben 1990, p. 152; Moore 1982, p. viii; Rubin 1967, pp. 86 and 177; Suppes 1972, p. 128)。這是康托爾超限數中“最小”的，定義為大於全體自然數的序數的最小序數。 Conway 和 Guy (1996) 使用符號 表示它。

根據序數比較的定義，可以得出序數是一個良序集。按照遞增的大小順序，序數是 0, 1, 2, ..., , , , ..., , , .... 序數的表示法可能有點違反直覺，例如，即使 , 。可數序數集合的基數用 (aleph-1) 表示。

如果 是一個序數為 的良序集，那麼所有小於 的序數的集合與 序同構。這提供了將序數定義為所有小於它自身的序數的集合的動機。約翰·馮·諾伊曼將集合 定義為序數，當且僅當

1. 如果 是 的元素，則 是 的真子集。

2. 如果 和 是 的元素，則以下情況之一為真：, 是 的元素，或者 是 的元素。

3. 如果 是 的非空真子集，則存在 屬於 ，使得交集 為空。

(Rubin 1967, p. 176; Ciesielski 1997, p. 44)。這是序數的標準表示。在這種表示中，

符號	元素	描述
0		空集
1		單元素集合
2		雙元素集合
3		三元素集合
		所有有限序數的集合
		所有可數序數的集合
		所有可數和 序數的集合
		所有有限序數和所有非負整數 的 序數的集合

Rubin (1967, p. 272) 提供了 序數的清晰定義。

由於對於任何序數 ，並集 是一個更大的序數 ，所以不存在最大的序數，因此所有序數的類是一個真類（如 Burali-Forti 悖論所示）。

序數還有一些其他相當奇特的性質。兩個序數的和可以取兩個不同的值，三個序數的和可以取五個值。這個序列的前幾項是 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, , , , , , ..., 即 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, 1089, 2673, 6561, 15633, 37249, ... (Conway 和 Guy 1996, OEIS A005348)。對於 ， 個序數的和有 或 種可能的答案 (Conway 和 Guy 1996)。

與 相同，但 等於 。 大於任何 of the form 形式的數， 大於 ，依此類推。

存在一些序數，它們不能透過較小的序數的有限次加法、乘法和指數運算構造出來。這些序數服從康托爾方程。第一個這樣的序數是

下一個是

然後是 , , ..., , , ..., , ..., , , ..., , , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ... (Conway 和 Guy 1996)。

序數加法、序數乘法和序數指數運算都可以被定義。儘管這些定義對於序型別也完全適用，但這似乎並不常用。通常有兩種方法來定義序數上的運算：一種是使用集合，另一種是歸納法。