Thue-Morse 序列，也稱為 Morse-Thue 序列或 Prouhet-Thue-Morse 序列 (Allouche and Cosnard 2000)，是由非負整數的二進位制表示中 1 的計數奇偶性獲得的一系列相關數字序列之一。
直接取奇偶性得到的版本是
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(1)
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其中 
是二進位制數字和。對於 
, 1, 2, ...，前幾個項由 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, ... 給出 (OEIS A010060; Allouche and Shallit 2003, pp. 15 和 153)。透過取二進位制補碼獲得的序列的另一種形式由 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, ... 給出 (OEIS A010059; Wolfram 2002, p. 890)。
將 Thue-Morse 序列解釋為串聯的二進位制數字，得到Thue-Morse 常數。
上面說明了 Thue-Morse 序列的遞迴圖。
存在一組驚人的涉及 Thue-Morse 序列 
的乘積，由下式給出
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(2)
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(3)
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(4)
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(Allouche and Shallit 2003, pp. 153 和 204，更正了兩個排印錯誤)，其中第一個歸因於 Woods (1978) 和 Robbins (1979)，是 Sondow (2006) 的數字和恆等式的特殊情況 
。
令人驚奇的是，Thue-Morse 序列可以從替換系統生成
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(5)
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(6)
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得到
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(7)
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當從 0 開始時，以及
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(8)
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從 1 開始時。將這些序列解釋為十進位制數，得到序列 0, 1, 6, 105, 27030, 1771476585, ... (OEIS A048707) 和 1, 2, 9,1 50, 38505, 2523490710, ...，分別地。在初始生成之後，每個子序列生成都有 
個 0 和 
個 1。
Wolfram (2002) 提供了各種Wolfram 語言程式碼，這些程式碼生成了補碼 Thue-Morse 序列 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ... 的前 
項，計算如下
1. 替換系統，
2. 邪惡數的位置，這些數在其二進位制展開式中具有偶數個 1 (OEIS A001969)，
3. 生成函式，遵循 
, 
,
4. 元胞自動機 (Wolfram 2002, p. 1186),
5. 代數生成函式,
6. 以超幾何函式表示的閉式表示式。
(* 1 *)
Nest[Join[#, 1 - #]&, {1}, k]
(* 2 *)
Table[1 - Mod[DigitCount[n - 1, 2, 1], 2],
{n, 2^k}]
(* 3 *)
(CoefficientList[Product[1 - z^(2^s),
{s, 0, k - 1}], z] + 1)/2
(* 4 *)
Flatten[CellularAutomaton[{69540422, 2, 2},
{{1}, 0}, 2^k - 1, {All, 0}]]
(* 5 *)
Mod[CoefficientList[Series[(1 + Sqrt[(1 - 3 x)/
(1 + x)])/(2 (1 + x)), {x, 0, 2^k - 1}], x], 2]
(* 6 *)
Mod[Table[(-1)^n/2 + (-3)^n Sqrt[Pi] *
Hypergeometric2F1Regularized[3/2, - n, 3/2 - n, - 1/3]/
(4 n!), {n, 0, 2^k - 1}], 2]
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(9)
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那麼 
滿足二次方程
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(10)
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這個方程有兩個解，
和 
，其中 
是 
的補碼，即，
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(11)
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這與二次方程的根之和的公式一致。等式 (10) 可以如下證明。令 (
...) 是 冪級數 的簡寫
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(12)
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所以 
是 (0110100110010110...)。要得到 
，只需使用在 GF(2) 上平方冪級數的規則
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(13)
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這擴充套件到平方冪級數的簡單規則
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(14)
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即，將序列按因子 2 展開，(0 1 1 0 1 0 0 1 ...)，並在奇數位置插入零以得到
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(15)
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然後乘以 
(這只是在前面新增一個零) 得到
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(16)
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加到 
得到
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(17)
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這是二次方程的第一項，它是 Thue-Morse 序列，每一項都加倍了。下一項是 
，所以我們有
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(18)
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(19)
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總和是上面兩個序列 異或 在一起 (沒有進位，因為我們在 GF(2) 上工作)，得到
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(20)
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因此我們有
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(21)
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Thue-Morse 詞是無重疊的 (Allouche and Shallit 2003, p. 15)，因此也是在兩個符號上無立方的 (Morse and Hedlund 1944)。因此，該序列不包含形式為 
的子串，其中 
是任何詞。例如，它不包含詞 000、010101 或 010010010。事實上，以下更強的陳述是正確的：Thue-Morse 序列不包含任何形式為 
的子串，其中 
是 
的第一個符號。我們可以透過執行以下操作在三個符號上獲得無平方序列：取 Thue-Morse 序列 0110100110010110... 並查看出現的長度為 2 的詞序列：10 01 10 00 01 11 10 .... 將 01 替換為 0，10 替換為 1，00 替換為 2，11 替換為 2，得到以下序列：1012021.... 那麼這個序列是無平方的 (Morse and Hedlund 1944)。
Thue-Morse 序列與格雷碼有著重要的聯絡。Kindermann 使用 Thue-Morse 序列的自相似性生成分形音樂。
