邪惡數

一個數 ，其小數部分的 位十進位制數字之和為 666，被稱為邪惡數（Pegg 和 Lomont 2004）。

然而，術語“邪惡”也用於表示二進位制展開中 1 的個數為偶數的非負整數，前幾個是 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, ... (OEIS A001969)，如上面的二進位制圖所示。不是邪惡數的數被稱為可憎數。

回到 Pegg 對邪惡的定義，Keith 注意到 是邪惡的，而 I. Honig（私人通訊，2004 年 5 月 9 日）注意到黃金比例 也是邪惡的。下表列出了一些常見的邪惡數（Pegg 和 Lomont 2004）。

拉馬努金常數	132
硬六邊形熵常數	137
	139
	140
Stieltjes 常數	142
pi	144
黃金比例	146
	146
	151
Glaisher-Kinkelin 常數	153
立方體線段選取平均長度	155
Delian 常數	156

一個給定實數的數字之和為一個相對較大的正整數的機率大致由數字的個數除以這些數字之和給出，即 。令人驚訝的是，對於和為數字 的機率可以使用遞迴公式精確計算

			(1)
			(2)

對於 , 2, ...，因此前幾個值是 1/9, 10/81, 100/739, 1000/6561, ... (OEIS A100061 和 A100062; Pegg 和 Lomont 2004)，如上圖所示。

這個級數的生成函式由下式給出

(3)

(Pegg 和 Lomont 2004)。這允許以閉合形式確定 的表示式，儘管它是一個複雜的表示式，涉及代數數（和多項式根） 的組合。

對於感興趣的情況 ()，結果是一個有 635 位分子和 636 位分母的有理數，它近似等於

(4)

以下給出了一組“野獸般的邪惡”數字（M. Hudson，私人通訊，2004 年 11 月 5-10 日）。

數字	位數
	74
	74
	136
	142
	146
	147
	149
	152
	156
	159
	163
	468
	655
	2018

pi 的邪惡冪包括 的 , 6, 8, 10, 17, 18, 24, 25, 26, 29, 30, 38, ... (M. Hudson，私人通訊，2004 年 11 月 8 日)。

簡單連分數項之和為一個給定數的類似問題也可以考慮。下表總結了一些常數，它們的連分數的累積和等於 666 (Pegg 和 Lomont 2004)。

常數	項數
立方體線段選取平均長度	50
pi	56
Bloch 常數	58
高斯常數	143
	167
蘭道常數的猜想值	173

有趣的是，這使得立方體線段選取平均長度和 雙重邪惡。