快樂數

設正整數的各位數字的平方和為 表示為 。以類似的方式，設 的各位數字的平方和表示為 ，以此類推。

迭代這個各位數字平方和的對映最終總是會達到 0, 1, 4, 16, 20, 37, 42, 58, 89 或 145 這 10 個數字中的一個 (OEIS A039943; Porges 1945)。

如果對於某個 有 ，那麼原始整數 就被稱為快樂數。例如，從 7 開始的序列是 7, 49, 97, 130, 10, 1，所以 7 是一個快樂數。

前幾個快樂數是 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, ... (OEIS A007770)。這些數也是其 2-迴圈數字不變數序列週期為 1 的數。達到 1 所需的迭代次數為 0, 5, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 5, ... (OEIS A090425)。

小於或等於 1, , , ... 的快樂數的數量由 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, ... 給出 (OEIS A068571)。

前幾個連續的快樂數 有 , 129, 192, 262, 301, 319, 367, 391, ... (OEIS A035502)。類似地，前幾個快樂三元組以 1880, 4780, 4870, 7480, 7839, ... 開頭 (OEIS A072494)。

前幾個快樂素數是 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, ... (OEIS A035497)。

一旦知道一個數是否是快樂數（或不快樂數），那麼序列 , , , ... 中的任何數也將是快樂數（或不快樂數）。不快樂數被稱為不快樂數。不快樂數具有永不達到 1 的最終週期性序列 。

一個不快樂數或快樂數的數字的任何排列也必須是不快樂數或快樂數。這源於加法是可交換的這一事實。