旋轉對稱

抽象地，如果一個空間構型 在 群 的作用下保持 不變，則稱其具有旋轉對稱性。這裡， 表示 的旋轉群，並被視為所有自同構的 自同構群 的一個子群，這些自同構保持 不變。對於 笛卡爾空間 中的平面圖形，旋轉對稱性有一個更直觀的定義。

對於任意 ， 中的幾何物體如果存在一個點，使得該物體繞該點旋轉一定的度數（或弧度）後，看起來與原來完全相同，則稱其具有旋轉對稱性。可以透過計算物體可以旋轉以使其看起來與自身相同的不同方式的數量來更精確地定義這個概念；這個數字 稱為對稱的度或階數。

階數為 的旋轉對稱性對應於平面圖形在旋轉 度或 弧度時保持不變。

上圖中的正五邊形具有 5 階旋轉對稱性，這是因為將其繞中心點旋轉 弧度，，會得到完全相同的圖形。這是一個更普遍事實的特例，即任何正平面 n 邊形都具有 階旋轉對稱性。在正平面 邊形的情況下，所有這些對稱性的集合是一個群，用 表示，它同構於 迴圈群 ，即 整數 模 的同餘類，並且是該圖形所有對稱性（旋轉對稱性和其他對稱性）的 二面體群 的一個 真子群。

根據上面的定義，1 階旋轉對稱性對應於一個物體僅當旋轉 度時才具有繞某一點的對稱性；顯然，這種情況僅適用於沒有對稱性的物體，即那些旋轉對稱群是平凡群的物體。因此，最簡單的可能的旋轉對稱性是 2 階，例如，平面平行四邊形就具有這種對稱性。

在某些文獻中， 階旋轉對稱性是透過對圖形繞直線 旋轉的結果進行分類來定義的，而不是繞點旋轉（Weyl 1982）。特別是，這些來源將圖形定義為具有 階旋轉對稱性，如果該圖形在繞 （稱為旋轉軸）旋轉 弧度後保持不變。然而，這兩種觀點產生相同的結果；例如，在上圖中，正五邊形繞其中心點順時針旋轉 弧度可以等效地視為繞由中心點和右上頂點確定的線段/直線順時針旋轉 弧度。

在 維笛卡爾空間 中，-球面 具有完全旋轉對稱性，因為它的形狀在繞任何直線 旋轉任意 弧度後都保持不變。從歷史上看，這一事實導致一些古代文明認為圓形和/或球體是神聖的 (Weyl 1982)。

除了作為一個經過深入研究的數學概念外，旋轉對稱性也是一個影響深遠的概念，因為這種對稱性在許多自然產生的物體中普遍存在，包括雪花、晶體和花朵。