Littlewood-Paley 分解

在泛函分析和調和分析領域，Littlewood-Paley 分解是一種分解相平面的特殊方法，它將單個函式表示為具有不同頻率的可數無限函式族的疊加。Littlewood-Paley 分解在數學的多個領域中都具有重要意義，並且構成了所謂的 Littlewood-Paley 理論的基礎。

為了在 上構造分解，令 為具有支撐的實值徑向隆起函式

(1)

在集合 上等於 1，其中

(2)

接下來，對於 ，令 為支撐在環域上的隆起函式

(3)

其導數滿足不等式

(4)

對於某個正數 和所有多重指標 。透過構造，隆起函式 滿足

(5)

對於所有 ，從而提供了一個特定的單位分解，它允許將 中的任意函式 分解為

(6)

其中 是一個投影運算元（所謂的 Littlewood-Paley 投影運算元之一），由下式定義

(7)

其中 和 分別表示 在 中的正向和逆向傅立葉變換。函式 的這種分解稱為其 Littlewood-Paley 分解。

雖然上述分解是針對假定為平方可積的函式 ，但人們可以類似地分解幾乎任何在無窮遠處具有某種衰減的函式，例如，任何 Schwartz 函式 。然而，對於 中的函式 ，Littlewood-Paley 分解滿足許多重要性質。例如，-可積函式 與 上的梯度運算元 結合滿足

(8)

且

(9)

這些事實暗示了啟發式關係

(10)

因此， 中的導數可以（啟發式地）分解為 Littlewood-Paley 運算元的線性組合。此外，根據 Minkowski 不等式，

(11)

這個不等式與之前的導數估計相結合，暗示了所謂的非端點 Sobolev 嵌入不等式

(12)

對於所有 在 中的函式 ，只要右側是有限的，並且 滿足 。在 且 的情況下，上述估計也允許人們證明所謂的端點 Sobolev 嵌入不等式

(13)

對於所有 在 中的函式 ，只要右側是有限的，並且 滿足 。這些 Sobolev 嵌入不等式可以使用分數階微分和積分運算元進一步擴充套件，以證明標準的 Sobolev 嵌入定理，這一事實使得 Littlewood-Paley 分解在 Sobolev 空間和相關空間的研究中特別重要。

在實踐中，上述分解有時被稱為 的齊次 Littlewood-Paley 分解，並與另一種性質相似但不同的分解區分開來，後者稱為非齊次 Littlewood-Paley 分解。為了定義後者，寫成

(14)

使得

(15)

並重做上述構造，使得 （而不是 ）。雖然細微，但這種區別導致了某些函式空間的齊次和非齊次版本的定義，這種區分在許多情況下至關重要。