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分數階導數

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函式 f(t) 的 mu>0 階分數階導數（如果存在）可以用分數階積分 D^(-nu)f(t) 定義為

D^muf(t)=D^m[D^(-(m-mu))f(t)],
(1)

其中 m 是整數 >=[mu], 其中 [x] 是 上限函式。半導數 對應於 mu=1/2。

函式 t^lambda 的分數階導數由下式給出

D^mut^lambda=D^m[D^(-(m-mu))t^lambda]
(2)
=D^m[(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda+m-mu+1))t^(lambda+m-mu)]
(3)
=(Gamma(lambda+1)(lambda-mu+m)(lambda-mu+m-1)...(lambda-mu+1))/(Gamma(1+m+lambda-mu))t^(lambda-mu)
(4)
=(Gamma(lambda+1)(1+lambda-mu)_m)/(Gamma(1+m+lambda-mu))t^(lambda-mu)
(5)
=(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda-mu+1))t^(lambda-mu)
(6)

對於 lambda>-1,mu>0。 常數函式 f(t)=c 的分數階導數然後由下式給出

D^muc=clim_(lambda->0)(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda-mu+1))t^(lambda-mu)
(7)
=(ct^(-mu))/(Gamma(1-mu)).
(8)

Et 函式的分數階導數由下式給出

D^rhoE_t(nu,a)=E_t(nu-rho,a)
(9)

對於 nu>0,rho!=0。

對於 mu,nu>0，總是成立

D^(-mu)D^(-nu)=D^(-(mu+nu)),
(10)

但並非總是成立

D^muD^nu=D^(mu+nu).
(11)

分數階導數在 Wolfram 語言 中實現為FractionalD.

分數階積分也可以類似地定義。對分數階導數和積分的研究稱為分數階微積分。

參見

分數階微積分, 分數階微分方程, '分數階積分, 半導數

使用 探索

參考文獻

Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; 和 Trujiilo, J. J. 分數階微分方程的理論與應用。 阿姆斯特丹，荷蘭：Elsevier，2006 年。Love, E. R. "虛階分數階導數。" J. London Math. Soc. 3, 241-259, 1971.Miller, K. S. "非整數階導數。" Math. Mag. 68, 183-192, 1995.Oldham, K. B. 和 Spanier, J. 分數階微積分：任意階的積分和微分。 紐約：Academic Press，1974 年。Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. 分數階積分和導數。 伊韋爾東，瑞士：Gordon and Breach，1993 年。

在 上引用

分數階導數

請引用為

Weisstein, Eric W. "分數階導數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FractionalDerivative.html

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