Sobolev 嵌入定理是泛函分析中的一個結果，它證明了某些Sobolev 空間 
可以嵌入到各種空間中，包括 
、
和 
，對於各種域 
、
在 
中，以及各種值 
、
、
、
、
、
和 
（通常取決於域 
和 
的屬性）。由於可能存在許多這樣的嵌入，因此許多單獨的結果可能被稱為“Sobolev 嵌入定理”，而實際上，“Sobolev 嵌入定理”這一短語最好被認為是包含所有此類結果的總稱。
為了繼續，設 
是 
中的一個域（即，一個有界的、連通的開集），並設 
是 
與 
維超平面在 
中的交集，對於 
。設 
、
為整數，並設 
。在這些構造下，我們有一系列函式空間嵌入，這些嵌入的集合將被稱為 Sobolev 嵌入定理。
例如，如果 
滿足所謂的“錐條件”（即，如果存在一個有限錐 
，使得每個 
都是一個有限錐 
的頂點，該錐包含在 
中且與 
全等），則
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(1)
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如果 
或 
且 
。對於這樣的 
、
和 
，我們也有
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(2)
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和
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(3)
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對於 
。如果相反 
，則
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(4)
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和
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(5)
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對於 
。最後，如果 
並且如果 
或如果 
且 
，則
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(6)
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和
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(7)
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對於 
。請注意，上述嵌入本質上都歸功於 Sobolev，並且僅取決於 
、
、
、
、
、
以及錐條件中錐 
的維度。
其他型別的域也提供了一些嵌入。如果 
滿足所謂的“強區域性 Lipschitz 條件”（即，如果邊界 
上的每個點 
都有一個鄰域 
，其與 
的交集是一個 Lipschitz 函式的圖），例如，那麼 (1) 的目標空間 
可以用更小的空間 
替換。此外，如果 
，則
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(8)
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對於 
。如果相反 
，則
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(9)
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其中 (9) 也適用於 
，前提是 
且 
。
許多上述結果可以透過所謂的 Sobolev 嵌入不等式來完全或幾乎完全證明。這些不等式源於 Littlewood-Paley 分解，對於 
，函式 
在 L-p 空間中。實際上，在這種情況下，閔可夫斯基不等式與這樣一個函式 
的 Littlewood-Paley 分解相結合，意味著許多不等式，例如，
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(10)
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當 
滿足 
時。在 
和 
的情況下，存在一個類似的不等式
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(11)
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其中 
滿足 
。只要各自的右側是有限的，不等式 (10) 和 (11) 就成立，並且可以使用分數階微分和分數階積分運算元進一步擴充套件，以產生許多先前陳述的嵌入結果。
上述結果可以進一步修改，以允許更一般的嵌入。例如，如果上面嵌入的 
空間被 
Sobolev 空間（即，函式的 Sobolev 空間，其 跡運算元的 
階導數對於所有 
都消失）替換，則對於 
中的任意域 
，所得嵌入都成立。此外，可以證明，與上述錐條件相關的嵌入仍然適用於僅滿足“弱化錐條件”的域 
。
