Banach-Alaoglu 定理

在 泛函分析 中，Banach-Alaoglu 定理（有時也稱為 Alaoglu 定理）是一個結果，它指出 拓撲向量空間 的 連續對偶 的 範數 單位球 在 範數拓撲 在 上誘導的 弱-*拓撲 中是 緊的。

更精確地說，給定一個拓撲向量空間 和 中 鄰域 ，Banach-Alaoglu 定理指出所謂的 極集 是弱-* 緊的（即，在上面提到的 的弱-*拓撲中是緊的），其中

其中 表示 標量 在 的底層 標量域 中的大小（即，如果 是 實向量空間，則為 的 絕對值；如果 是 復向量空間，則為其 復模）。

Alaoglu 在 1940 年代證明了一般拓撲向量空間 的證明，儘管 Banach 在 1930 年代證明了 可分 的特殊情況。從那時起，該定理已被推廣到其他各種背景，最著名的是 Bourbaki 將其推廣到對偶拓撲的語言中，並有許多重要的推論。例如，該定理意味著在 自反 Banach 空間 （例如，當 是 希爾伯特空間 時）中的每個 有界 序列 都有一個 弱收斂 子序列，因此在這些空間中有界 凸集 的範數閉包是弱緊的。

值得注意的是，Banach-Alaoglu 定理有一種逆定理，它也是成立的。特別地，如果 是一個 Banach 空間，其對偶為 ，如果 表示 中的閉單位球，並且如果 是 中的一個凸集，對於每個 ，交集 是弱-* 緊的，那麼 必然是弱-* 閉的。