弱-* 拓撲

設 為一個 拓撲向量空間，其連續 對偶空間 可能分離點，也可能不分離點（即，可能為 T2 空間，也可能不為 T2 空間）。在 上的弱-*（發音為 “weak star”）拓撲被定義為 -拓撲 在 上，即最粗糙的 拓撲 （具有最少 開集 的拓撲），在該拓撲下，每個元素 都對應於 上的 連續對映。弱-* 拓撲有時也稱為超弱拓撲或 -弱拓撲。

上述定義的基本觀察是，每個元素 都在 上誘導一個 線性泛函 。特別地， 的形式為

對於每個元素 ，並且因此，人們可以將空間 視為 上線性泛函的集合，因此可以在其上定義 -拓撲。

直接從上述內容得出的是，弱-* 拓撲是更一般概念的特例。特別地，給定一個非空族 ，其為從集合 到 拓撲空間 的對映，可以定義一個拓撲 為 形式的集合的所有 並集 和有限 交集，其中 且 是 中的開集。拓撲 通常稱為 -拓撲 在 上和/或由 誘導的 上的弱拓撲，由此可知，上述定義對應於 對於拓撲向量空間 的特殊情況。

弱-* 拓撲在整個 泛函分析 中是基礎性的，在許多重要定理中起著基礎作用，包括 Banach-Alaoglu 定理。