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七個數學花絮

作者：Eric W. Weisstein 和 Ed Pegg Jr.

2004年11月8日——雖然過去幾個月沒有出現任何特別驚天動地的數學新成果，但最近出現了一些有趣的事件、發現和數學書籍。以下是其中一些的回顧。

1. 馬丁·加德納慶祝 90 歲生日

馬丁·加德納，著名的數學散文家、普及者，《科學美國人》長期專欄“數學遊戲”的作者，於 2004 年 10 月 21 日慶祝了他的 90 歲生日。美國數學協會送上了生日祝福。加德納的論文集有十幾本書，其中許多已被 廣泛引用。

2. 奇完全數必須是奇數

一個完全數是一個正整數 n，使得 n = s(n)，其中 s(n) 是 n 的真因數之和。例如，6 的真因數是 1、2 和 3，並且 1 + 2 + 3 = 6，所以 6 是一個完全數。古代人認為完全數具有重要的命理學特性，並受到包括歐幾里得在內的希臘人的廣泛研究。雖然歐幾里得的許多繼任者隱含地假設所有完全數都是偶數，但所有偶完全數都具有這種形式的精確陳述，最早是在 1638 年笛卡爾給梅森的信中提出的。今天，仍然不知道是否存在任何奇完全數，儘管已知任何這樣的數都必須大於 10³⁰⁰。

數學家凱文·黑爾一直在研究奇完全數的存在性，並已證明任何奇完全數必須至少有 47 個素因子（包括重複項），並且改進此結果取決於找到三個大數的因子。特別是，如果可以分解合數 301 位數字 ，則可以計算出更高的界限。

3. 10 萬億 Zeta 零點

黎曼 zeta 函式是定義在複平面上的數論函式，也在數學物理學中得到廣泛應用。它的性質被證明與素數的分佈密切相關，因此受到了廣泛的研究。

數值實驗表明，黎曼 zeta 函式的“非平凡”零點位於所謂的臨界線上，即對應於實部 x = 1/2 的線。數學中最困難的問題之一是證明所有非平凡零點都位於這條線上，這個命題被稱為黎曼猜想。甚至有一個 100 萬美元的獎金來證明這個猜想（儘管奇怪的是，這個獎金不是為證偽這個猜想而提供的）。

10 月 13 日，Xavier Gourdon 和 Patrick Demichel 宣佈，他們使用 Odlyzko 和 Schönhage 的高效技術找到了黎曼 zeta 函式的前十萬億個非平凡零點，比以往任何時候計算的都多。這些零點中的每一個都位於臨界線上，這是黎曼猜想成立的必要條件，但遺憾的是不是充分條件。

4. Mathematica 程式設計和圖形指南

  

《Mathematica 指南》是由 Mathematica 專家、 的物理學家 Michael Trott 探索 Mathematica 在科學、計算機科學和視覺化中經典和當前問題的應用。計劃出版的四卷中的前兩卷剛剛由 Springer-Verlag 出版。

《Mathematica 程式設計指南》提供了 Mathematica 程式設計功能的全面、循序漸進的開發，幷包含大量示例和練習。《Mathematica 圖形指南》提供了關於如何使用 Mathematica 視覺化函式和資料、操作圖形以及最佳化其外觀的相同內容。二維圖形、等高線圖、曲面圖、自由形式三維曲面和動畫是核心主題。兩卷都包含所有可執行程式碼和輸出，並隨附 DVD。

《數值》和《符號》卷計劃於 2005 年春季出版。（隨附《程式設計》和《圖形》卷的 DVD-ROM 包含所有四卷的文字和輸入，但不包含輸出、圖形或動畫。）Michael 的網站 mathematicaguidebooks.org，為這些新書提供了豐富的支援材料。

《Mathematica 指南》是真正的數學瑰寶。這些書充滿了精美的結果、大量的文獻參考和令人驚歎的圖形，讓人們對計算數學的力量有了迷人的瞭解。Michael Trott 對 Mathematica 程式語言的專業知識使這些書成為初學者和經驗豐富的 Mathematica 程式設計師不可或缺的參考，他對數學、物理學和文獻的百科全書式知識使這些書成為數學上的傑作。作者毫不懷疑，《指南》將迅速成為學生、研究人員和數學愛好者圖書館中最珍貴的書籍之一。

5. UPINT 第三版

Richard Guy 的經典著作《數論中未解決的問題》第三版已由 Springer-Verlag 出版。Guy 的書被親切地稱為“UPINT”，透過之前的三個版本和現在的版本，一直是數論領域最新和有價值的資源。事實上，第二版已在 中被廣泛引用，其中包含 300 多個對該作品的詳細參考文獻。

第三版包含許多更新。實際上，如果 的讀者發現任何需要更新的資訊，請報告給 mathworld@wolfram.com，以便我們納入最新的結果。此外，在第三版中，Guy 添加了指向 N.J.A. Sloane 的線上整數序列百科全書 (OEIS) 的大量連結。

6. 線上整數序列百科全書 10 萬條目電子派對

說到線上整數序列百科全書，序列 A100000 於 11 月 7 日釋出。為此榮譽選擇的序列是“3、6、4、8、10、5、5、7”，它給出了在最古老的具有邏輯雕刻的物體——來自剛果的 22000 年曆史的伊尚戈骨骼上發現的標記的中間列。

線上整數序列百科全書是數學家 Neil Sloane 的心血結晶。其主要目的是讓數學家或其他科學家找出他們在研究中出現的某些序列是否以前見過。另一個目的是擁有一個易於訪問的重要但難以計算的序列資料庫。線上百科全書由 Neil 及其合作者歷時數十年編纂而成，取代了 1973 年和 1995 年出版的印刷版。

為了慶祝達到 10 萬條目的里程碑，有一個 OEIS 10 萬條目電子派對。精明的讀者會認出這篇新聞報道的兩位作者都是 Neil Sloane 電子派對的參與者。 的常客讀者也會認識到，OEIS 與數千個連結在每個方向上廣泛交叉連結。

7. 三角中心百科全書

三角中心是一個點，其三線座標根據參考三角形的邊長和角定義，並且可以為其定義所謂的三角中心函式。著名的三角中心包括內心 I、重心 G、外心 O 和垂心 H，如上圖（左圖）所示，適用於參考三角形 ABC。

這些只是數學家克拉克·金伯林從埃文斯維爾大學彙編的三角中心中的四個（實際上是前四個）。Kimberling (1994) 中出現了 301 個（加上額外的 13 個）中心，Kimberling (1998) 中出現了 360 箇中心，但 Kimberling 繼續在他的“三角中心百科全書”中線上彙編中心（在這項工作中稱為金伯林中心）。該列表最近進行了一次重大更新，總共包含 2676 個三角中心（其中一部分如上圖右側所示）。這些中心的子集可在 Mathematica 包 KimberlingCenters.m 中獲得（與 PlaneGeometry.m 結合使用，均由 Eric Weisstein 編寫），並且由於 Edward Brisse 博士將中心轉錄到 Mathematica 中的工作，整個 ETC 的三線座標應該很快可用。