Riesz 表示定理

這個定理有幾個版本。基本上，它說任何有界線性泛函 在緊支撐連續函式空間 上，與對某個測度 進行積分是相同的，

這裡，積分是 勒貝格積分。

由於線性泛函構成一個向量空間，並且不是“正的”，因此測度 可能不是正測度。但是如果泛函 是正的，在 意味著 的意義上，那麼測度 也是正的。在複線性泛函的一般性中，測度 是一個複測度。測度 由 唯一確定，並具有正則 博雷爾測度 的性質。它必須是一個有限測度，這對應於泛函的有界條件。事實上，運算元範數 , , 是 的全變差測度, 。

自然地，有一些假設對於使其有意義是必要的。空間 必須是區域性 緊 的，並且是 T2 空間，這不是一個很強的限制。事實上，對於無界空間 ，該定理也適用於在無窮遠處消失的連續函式上的泛函，在對於任何 ，存在一個緊集 使得對於任何不在 中的 ， (這是來自微積分的 的概念)。

Riesz 表示定理在描述包含緊支撐連續函式作為稠密子空間的任何空間的對偶向量空間時非常有用。粗略地說，線性泛函通常透過與隆起函式卷積而被修改為緊支撐連續函式上的有界線性泛函。然後它可以被實現為對測度進行積分。通常，測度必須是絕對連續的，因此對偶是對函式進行積分。