）和有限的 |
透過考慮滿足此條件的六個圖形可以確定充分性。
存在十六個正則多胞體，其中六個是凸的（Wells 1986，第 68 頁），十個是星形的（Wells 1991，第 209 頁）。正則凸多胞體有四種主要的對稱軸型別，並且在與這些軸正交的三維空間中的投影可以稱為“規範”投影。
在六個正則凸多胞體中，通常認為有五個類似於柏拉圖立體：4-單體（超四面體），4-交叉多胞體（超八面體），4-立方體（超立方體），600-胞體（超二十面體）和 120-胞體（超十二面體）。然而，24-胞體在更高或更低維度空間中沒有完全的類比物。五胞體和24-胞體是自對偶的，16-胞體是超正方體的對偶，600-胞體和120-胞體彼此對偶。
凸正則多胞體在下表中列出（Coxeter 1969，第 414 頁；Wells 1991，第 210 頁）。
| 名稱 | 施萊夫利符號 | 類別 |  |  |  |  |
| 五胞體 |  | 單體 | 5 | 10 | 10 | 5 |
| 16-胞體 |  | 交叉多胞體 | 8 | 24 | 32 | 16 |
| 超正方體 |  | 超立方體 | 16 | 32 | 24 | 8 |
| 24-胞體 |  | 24 | 96 | 96 | 24 | |
| 120-胞體 |  | 600 | 1200 | 720 | 120 | |
| 600-胞體 |  | 120 | 720 | 1200 | 600 |
這裡，
是多面體頂點的數量，
是多胞形稜的數量，
是面的數量，並且 
是胞體的數量。這些量滿足恆等式
 |
這是多面體公式的一個版本。
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正則星形多胞體被 Normal Johnson 稱為施萊夫利-赫斯多胞體，並且是四個正則星形多面體，即開普勒-泊松多面體的類似物。
十個正則星形多胞體中的九個可以透過刻面 
獲得。第十個，
，可以透過刻面 
獲得。此外，在十個正則星形多胞體中，有幾個共享相同的稜：
, 
, 
, and 
; 
, 
, 
, and 
; and 
and 
. 
不與其他任何正則多胞體共享稜。因此，上面僅示出了十個正則星形多胞體的四種不同投影（到任何給定平面或三維空間中）。
