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120-胞


120-cell

120-胞是一個有限的正則四維多胞形,其施萊夫利符號為 {5,3,3}。它也被稱為超十二面體或百二十面體,由 120 個十二面體組成,每條邊連線 3 個,以及 720 個五邊形 (Coxeter 1973, p. 264)。120-胞有 600 個頂點 (Coxeter 1969) 和 1200 條邊。它是六個正則多胞體之一。

在第 176 頁之後的圖中,Coxeter (1973) 對該多胞形進行了圖示。

120-胞的對偶是 600-胞

半徑為 2sqrt(2),邊長為 3-sqrt(5) 的 120-胞的頂點由以下集合給出,其中 phi黃金比例 (Coxeter 1969, p. 404)。

1. 由 2(+/-1,+/-1,0,0) 及其所有排列給出的 24 個向量的集合。

2. 由 (+/-sqrt(5),+/-1,+/-1,+/-1) 及其所有排列給出的 64 個向量的集合。

3. 由 (+/-phi^(-2),+/-phi,+/-phi,+/-phi) 及其所有排列給出的 64 個向量的集合。

4. 由 (+/-phi^2,+/-phi^(-1),+/-phi^(-1),+/-phi^(-1)) 及其所有排列給出的 64 個向量的集合。

5. 由 (+/-phi^2,+/-phi^(-2),+/-1,0) 及其所有偶排列給出的 96 個向量的集合。

6. 由 (+/-sqrt(5),+/-phi^(-1),+/-phi,0) 及其所有偶排列給出的 96 個向量的集合。

7. 由 (+/-2,+/-1,+/-phi,+/-phi^(-1)) 及其所有偶排列給出的 192 個向量的集合。

在 4 維空間中,120-胞的頂點之間有 30 個不同的非零距離。

120-cell laser crystal (Bathsheba Grossman)
120-cell metal sculpture (Bathsheba Grossman)

上面的頂部影像顯示了雷射蝕刻到玻璃中的 120-胞的投影,底部的兩個影像顯示了視覺化為金屬雕塑的投影。這兩件作品均由數字雕塑家 Bathsheba Grossman (http://www.bathsheba.com/) 創作。

120CellGraphs

120-胞的骨架,如上圖所示的幾個投影,是一個 4-正則圖(即,周長為 5(五邊形環)且直徑為 15 的四次圖)。從 120-胞骨架上的給定頂點開始,圖距離為 n=0, 1, 2, ... 的頂點數為 1, 4, 12, 24, 36, 52, 68, 76, 78, 72, 64, 56, 40, 12, 4 和 1 (OEIS A108997)。120-胞具有圖譜

 4^1(alpha,beta,gamma)^(25)(mu,eta,sigma)^(36)[1/2(3+/-sqrt(13))]^(16)[1/2(-1+/-sqrt(21))]^(16)(-1+/-sqrt(2))^(48)[1/2(5+/-sqrt(5))]^91^(40)0^(18)(-1)^8(-2)^8(-3phi+2)^4(3phi-1)^4(+/-sqrt(5))^(24)phi^(24)(1-phi)^(24)(phi-2)^(24)(-1-phi)^(30),

其中 alpha, beta, 和 gammax^3-x^2-7x+4 的實根,mu, eta, 和 sigmax^3-x^2-7x+8 的根,且 phi=(1+sqrt(5))/2黃金比例。120-胞的骨架在 Wolfram 語言中實現為GraphData["HundredTwentyCellGraph"].

120-胞骨架的獨立數是 220 (Debroni et al. 2010),其色數是 3 (S. Wagon 和 R. Pratt,私人通訊,2011 年 12 月 2 日)。R. Pratt 還發現了一種平衡的 3-著色,每種顏色有 200 個頂點。

120-胞有

 2^75^27^3(2^(114)3^(78)5^(20)7^(33)+2^(47)3^(18)5^27^(12)53^52311^3+239^23931^2) approx 2.760×10^(119)

個不同的 (Buekenhout 和 Parker 1998)。其自同構群的階數為 |Aut(G)|=120^2=14400 (Buekenhout 和 Parker 1998)。


另請參閱

11-胞, 16-胞, 24-胞, 57-胞, 600-胞, , 超立方體, 五胞體, 多胞體, 多胞形, 單純形

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參考文獻

Buekenhout, F. and Parker, M. "維度 <=4 的正則凸多胞形的網的數量." Disc. Math. 186, 69-94, 1998.Coxeter, H. S. M. 幾何學導論,第二版 New York: Wiley, p. 404, 1969.Coxeter, H. S. M. "星狀 {5,3,3}." §14.2 in 正則多胞形,第三版 New York: Dover, pp. 136-137, 157, 264-267, and 292, 1973.Debroni, S.; Delisle, E.; Myrvold, W.; Sethi, A.; Whitney, J.; Woodcock, J.; Fowler, P. W.; de La La Vaissière, B.; and Deza, M. "120-胞和其他正則多面體的最大獨立集." To appear in Ars Mathematica Contemporanea. 2010. http://www.liga.ens.fr/~deza/withFowler/120-cell_2010.pdf.Grossman, B. "120-胞." http://www.bathsheba.com/math/120cell/.Grossman, B. "120-胞晶體." http://www.bathsheba.com/crystalsci/120cell/.Sloane, N. J. A. Sequence A108997 in "整數序列線上百科全書."Stillwell, J. "120-胞的故事." Not. Amer. Math. Soc. 48, 17-24, 2001.Swab, E. "120-胞摺疊圖." http://users.adelphia.net/~eswab/120cell.htm.Weimholt, A. "120-胞摺疊圖." http://www.weimholt.com/andrew/120.html.Wells, D. 企鵝趣味幾何詞典。 London: Penguin, p. 210, 1991.

請引用為

Weisstein, Eric W. “120-胞。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/120-Cell.html

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