希爾伯特函式 -- 來自

給定一個有限生成的 -分次模在分次環上（有限生成於上，是一個阿廷區域性環），的希爾伯特函式是對映，使得對於所有 ,

(1)

其中表示長度。如果是的維數，那麼存在一個多項式，其次數為，且具有有理係數（稱為的希爾伯特多項式），使得對於所有充分大的成立。

冪級數

(2)

被稱為的希爾伯特級數。它是一個有理函式，可以唯一地寫成以下形式

(3)

其中是和的冪的具有整數係數的有限線性組合。如果是正分次的，即對於所有，那麼是變數的具有整數係數的普通多項式。此外，如果，則，即希爾伯特級數是一個多項式。

如果有一個有限分次自由分解

(4)

那麼

(5)

此外，如果是上的度數為 1 的齊次元素的正則序列，那麼 -維商模的希爾伯特函式是

(6)

特別地，

(7)

這些性質為計算多項式環上有限生成的分次模的希爾伯特級數提供了有效的方法，其中是一個域。

維度為的的希爾伯特級數可以透過考慮的最大正則序列，以及 0 維商環的希爾伯特函式獲得，它與的希爾伯特函式相同。現在，且對於所有，。因此。由此得出是常數多項式 1，因此

(8)

這種方法可以應用於所有 Cohen-Macaulay 商環，其中是由齊次多項式生成的理想。第一步是找到由度數為 1 的齊次多項式組成的的最大正則序列；在這裡，由於 Cohen-Macaulay 性質，。這將產生一個 0 維環（的所謂的阿廷約化），其希爾伯特級數是多項式。根據 (5) 和 (6)，結果是

(9)

例如，如果，這是一個 1 維 Cohen-Macaulay 環，阿廷約化是。它的希爾伯特級數可以很容易地從定義中確定：對於所有，，而對於所有，，因為向量空間在上的長度與其維度相同。由於在中，和的所有倍數均為零，我們有

			(10)
			(11)
			(12)

因此，這是。根據 (8) 可知

(13)

同樣的結果可以透過首先構造在上的分次自由分解來獲得，

(14)

這得到，而其餘的為零。因此，根據 (4) 和 (7)，

			(15)
			(16)
			(17)

如上所述。我們將其重寫為冪級數的形式，

			(18)
			(19)

由此，根據 (2)，我們可以檢索希爾伯特函式的值，

{H(S,a)=0 for a<0; H(S,0)=1 ; H(S,a)=2 for a>=1.

(20)

由此可知，的希爾伯特多項式是常數多項式。

更一般地，的分次自由分解，其中是理想在中，且是度數為的多項式，是

(21)

且的希爾伯特級數為

(22)

對於更復雜的理想，計算需要使用 Gröbner 基，以及 Eisenbud (1995)、Fröberg (1997) 或 Kreuzer 和 Robbiano (2000) 解釋的技術。

從歷史上看，希爾伯特函數出現在代數幾何中，用於研究射影平面中的有限點集，如下所示（Cayley 1843，Eisenbud等人1996）。設 $Gamma={p_1,...,p_m} subset P^2$ 是個不同點的集合。那麼對度數為的形式施加的條件數稱為的希爾伯特函式。如果度數為和的曲線和在的個點的集合中相遇，那麼對於任何，由對度數為的形式施加的條件數與和無關，並由下式給出