六方密堆積

在六方密堆積中，球體層以交替層中的球體彼此重疊的方式堆積。與立方密堆積一樣，每個球體都被其他 12 個球體包圍。取 13 個這樣的球體的集合，得到如上所示的簇。連線外部 12 個球體的中心會得到 Johnson 固體 ，即三角正雙圓柱體（triangular orthobicupola）（Steinhaus 1999，pp. 203-205；Wells 1991，p. 237）。

六方密堆積必須提供與立方密堆積相同的堆積密度，因為滑動一層球體不會影響它們佔據的體積。為了驗證這一點，構建一個包含三層六方晶胞的三維圖（Steinhaus 1999，pp. 203-204）。頂部和底部都包含六個 -球體和一個半球。因此，這兩行中的球體總數為

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中間行中球體的體積不能簡單地用幾何方法計算。然而，對稱性要求切掉的球體部分恰好被另一側的額外部分平衡。因此，中間層有三個球體，總共六個，總體積為

(2)

晶胞的底面是由六個邊長為 的等邊三角形組成的規則六邊形。因此，晶胞底面積為

(3)

高度與邊長為 的兩個四面體的高度相同，因此

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得到

(5)

(Conway 和 Sloane 1993，pp. 7 和 9)。既然開普勒猜想已經成立，六方密堆積和立方密堆積（兩者的堆積密度均為 ）被認為是等徑球體最密集的堆積方式。

如果我們實際上想要計算六邊形稜柱內部和外部球體的體積，我們可以使用球冠方程來獲得

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如果允許以立方晶格、面心立方晶格和六方晶格堆積的球體均勻膨脹直到彼此接觸，它們將分別形成立方體、六稜柱和菱形十二面體。特別是，如果面心立方堆積的球體膨脹直到填滿間隙，它們會形成一個實心菱形十二面體（上圖左），如果六方密堆積的球體膨脹，它們會形成第二個不規則十二面體，由六個菱形和六個梯形組成（上圖右；Steinhaus 1999，p. 206），稱為偏方面菱形十二面體。後者可以透過將前者切成兩半並將兩半彼此旋轉 來獲得。旋轉後的十二面體的短邊和長邊的長度分別是菱形面長度的 2/3 和 4/3 倍。 菱形十二面體和偏方面菱形十二面體都是空間填充多面體。