格拉斯曼流形

格拉斯曼流形 是 維子空間在一個 維向量空間中的集合。例如，線的集合 是射影空間。實格拉斯曼流形（以及復格拉斯曼流形）是流形的例子。例如，子空間 有一個鄰域 。子空間 在 中，如果 和 並且 。那麼對於任何 ，向量 和 是唯一確定的，透過要求 和 。其他六個條目為 提供座標。

一般來說，格拉斯曼流形可以在一個點 以類似的方式給出座標。令 為 維子空間的開集，這些子空間投影到 上。首先選擇一個 標準正交基 對於 ，使得 張成 。使用這個基，可以取任意 個向量並構成一個 矩陣。對 的基執行此操作，另一個 維子空間在 中，得到一個 矩陣，它在行的線性組合下是良好定義的。最後一步是進行行簡化，使得前 塊是單位矩陣。然後，最後 塊由 唯一確定。此塊中的條目給出了開集 的座標。

如果 是 的標準基， 的基由 個向量 給出，。如果 是維度為 的子空間 的基， 的子空間 對應於 中的一個點 ，其座標是 關於 的上述基的分量。這些座標是所謂的 格拉斯曼座標 。

基 的不同選擇產生不同的 元組座標，它與原始的 元組相差一個非零乘法常數，因此它對應於相同的點。

格拉斯曼流形也是一個齊次空間。一個子空間由它的基向量確定。置換基向量的群是 。固定 的矩陣是一個對角分塊矩陣，左上角是一個 非奇異矩陣，右下角是一個 可逆矩陣。 在格拉斯曼流形 上傳遞作用。令 為 的穩定子（或迷向子）。那麼 是 的子群，由矩陣 組成，使得對於所有 , 滿足 和 ，有 。 與 同構。

格拉斯曼流形的切空間由 矩陣給出，即從 到商向量空間 的線性對映。

元素 是 階子式，對於 矩陣，其第 行包含 關於基 的分量。它對應於一個線性變換 ，其值域是 。一般來說，這種線性變換的值域的維度為 當且僅當對應的 矩陣的秩為 。

令 為 的子集，由矩陣 的所有 階子式（可以看作 個座標的序列）等於零，並且一個 階子式非零的條件定義。格拉斯曼流形 可以看作是從 的對映的像，該對映將 的每個矩陣對映到其 階子式的序列。

它是一個代數射影代數簇，由稱為普呂克方程的方程定義。它是一個維度為 的非奇異簇。