仿射簇 -- 來自 - 數學天地

仿射簇是包含在仿射空間中的代數簇。例如，

${(x,y,z):x^2+y^2-z^2=0}$

(1)

是錐，以及

${(x,y,z):x^2+y^2-z^2=0,ax+by+cz=0}$

(2)

是圓錐曲線，它是錐的子簇。錐可以寫成以表示它是對應於的簇。自然地，許多其他多項式在上消失，事實上是 $I(C)={x^2+y^2-z^2}$ 中的所有多項式。集合是多項式環中的一個理想。另請注意，在圓錐曲線上消失的多項式的理想是由和生成的理想。

兩個仿射簇之間的態射由多項式座標函式給出。例如，對映是從到的態射。如果存在具有逆態射的態射，則兩個仿射簇是同構的。例如，仿射簇透過座標變換與錐同構。

許多多項式可以分解，例如，然後。因此，只有不可約多項式，更一般地只有素理想被用於簇的定義。仿射簇是多項式集合 , ..., 的公共零點集，即，

$V={x=(x_1,...,x_n):p_1(x)=...=p_k(x)=0}$

(3)

只要理想是一個素理想。更經典地，仿射簇由任何多項式集合定義，即現在所謂的代數集。中的大多數點將具有維度，但可能有奇點，如錐中的原點。

當在一般情況下（幾乎在所有點上）是一維的，這通常發生在時，那麼被稱為曲線。當是二維的時，它被稱為曲面。在 CW-復仿射空間的情況下，曲線是黎曼曲面，可能帶有一些奇點。

Wolfram 語言函式ContourPlot將繪製實仿射平面中的仿射簇。例如，以下圖形繪製了一個雙曲線和一個圓。

GraphicsGrid[{{
 ContourPlot[x^2 - y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}],
 ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
}}]

仿射簇