基本矩陣子空間

給定一個實數 矩陣 ，有四個相關的向量子空間，通常被稱為它的基本子空間，即矩陣 的列空間和零空間及其轉置 。這四個子空間之所以重要有很多原因，其中之一是它們在所謂的線性代數基本定理中起著至關重要的作用。

上圖總結了實數 矩陣 的四個基本矩陣子空間之間的一些相互作用，包括所討論的空間是 還是 的子空間，哪些子空間彼此正交，以及矩陣 如何相對於 所在的子空間對映各種向量 。

在 m=n=2 的情況下，所有四個基本矩陣子空間都是 中的直線。在這種情況下，對於某些 2×1 向量 ，可以寫成 ，由此，這四條直線的方向分別對應於 , , 和 。線性代數中的一個基本事實是，這些方向也由 和 的特徵向量表示 (Strang 2008)；這是在許多線性代數基本定理的表述中， 的四個基本子空間經常與 和 的特徵值和奇異值分解相關聯的原因之一 (Strang 2012)。