線性代數基本定理

給定一個 矩陣 ，線性代數基本定理是關於 的四個基本矩陣子空間的各種性質的一系列結果。 特別是

1. 並且 其中， 表示 的值域或列空間， 表示其轉置，並且 表示其零空間。

2. 零空間 與行空間 正交。

3. 列空間 和行空間 都存在標準正交基。

4. 相對於 和 的標準正交基， 是對角矩陣。

此列表中的第三項源於格拉姆-施密特正交化；第四項源於 的奇異值分解。 此外，雖然不同，但第一項讓人聯想到秩-零化度定理。

上圖總結了實 矩陣 的四個基本矩陣子空間之間的一些相互作用，包括所討論的空間是 還是 的子空間，哪些子空間彼此正交，以及矩陣 如何相對於 所在的子空間對映各種向量 。 該圖本質上使上述結果的前兩部分視覺化。

值得注意的是，這個定理的陳述方式常常不同，並且包含不同數量的部分。 特別是，此定理的常見版本通常僅包括上面給出的前兩項，儘管最後兩項的重要性通常被認為是證明像上面這樣的四部分版本是合理的（Strang 1993）。 一些作者還在陳述本身中包含上述陳述的推論（Badger 2012）。