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圓柱楔形

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CylindricalWedgeSchem
CylindricalWedge

圓柱楔形，也稱為圓柱蹄或圓柱楔形體，是從圓柱體上切割下來的楔形，切割方式是用一個平面相交圓柱體的底面。圓柱楔形的體積可以透過注意到切割圓柱體的平面穿過上面所示的三個點（其中 b>R），因此平面的三點形式給出了方程

|x y z 1; R-b a 0 1; R-b -a 0 1; R 0 h 1|=h(R-b-x)+bz
(1)
=0.
(2)

求解 z 得出

z=(h(x-R+b))/b.
(3)

這裡，a 的值由下式給出

a=sqrt(R^2-(b-R)^2)
(4)
=sqrt(b(2R-b)).
(5)
CylindricalWedgeVolume

因此，體積由沿 x 軸的矩形區域上的積分給出，

V=intz(x)y(x)dx =2int_(R-b)^R(h(x-R+b))/bsqrt(R^2-x^2)dx =h/(6b)[2sqrt((2R-b)b)(3R^2-2ab+b^2)-3piR^2(R-b)+6R^2(R-b)sin^(-1)((R-b)/R)].
(6)

使用恆等式

a=Rsinphi
(7)
b=R(1-cosphi)
(8)
b^2=2bR-a^2
(9)
phi=1/2pi+tan^(-1)((b-R)/a)
(10)

給出等價的替代形式

V=h/(3b)[a(3R^2-a^2)+3R^2(b-R)phi]
(11)
=(hR^2)/3((3sinphi-3phicosphi-sin^3phi)/(1-cosphi))
(12)

（Harris 和 Stocker 1998, p. 104）。在 a=b=R 的情況下，這簡化為

V=2/3hR^2.
(13)

側面表面積可以從下式求得

S_L=2Rint_0^phiz(theta)dtheta
(14)

其中 z(theta) 只是 z(x) 在 x=Rcostheta 的情況下，所以

S_L=2Rint_0^phi(h(b-R+Rcostheta))/bdtheta
(15)
=(2hR)/b{sqrt(2bR-b^2)+(b-R)×[1/2pi+tan^(-1)((b-R)/(sqrt(2bR-b^2)))]}
(16)
=(2hR)/b[a+(b-R)phi]
(17)
=2hR((sinphi-phicosphi)/(1-cosphi))
(18)

（Harris 和 Stocker 1998, p. 104）。

CylindricalHoof

圓柱楔形的一個特例，可以稱為半圓柱楔形，是穿過底面直徑的楔形（因此 a=b=R）。設這個楔形的高度為 h，切割它的圓柱體的半徑為 r。然後將點 (0,-R,0)、(0,R,0) 和 (R,0,h) 代入平面的 3 點方程，得到平面的方程為

hx-Rz=0.
(19)

將它與描述圓柱體剩餘彎曲部分的圓的方程結合起來（並寫成 t=x），然後給出楔形的“舌形”的引數方程為

x=t
(20)
y=+/-sqrt(R^2-t^2)
(21)
z=(ht)/R
(22)

對於 t in [0,R]。為了檢查舌形的形狀，需要將其旋轉到一個方便的平面。這可以透過首先使用旋轉矩陣 R_x(90 degrees) 將曲線平面繞 x 軸旋轉 90 degrees，然後再按 角度

theta=tan^(-1)(h/R)
(23)

在 z 軸上方。變換後的平面現在位於 xz 平面中，並具有引數方程

x=(tsqrt(h^2+R^2))/R
(24)
z=+/-sqrt(R^2-t^2)
(25)

如下所示。

CylindricalWedgeTongue

舌形的長度（沿其中心測量）是透過將 t=R 代入上述 x 的方程獲得的，結果變為

L=sqrt(h^2+R^2)
(26)

（這可以直接從勾股定理得出）。

正如從一般圓柱楔形的情況確定的，半圓柱蹄的體積由下式給出

V_S=2/3R^2h
(27)

而側面表面積由下式給出

S_L=2Rh.
(28)

體積由 Gregory of St. Vincent (1647) 發現。

雖然一般圓柱楔形的質心對於 R!=b 來說很複雜，

x^_=int_(R-b)^Rint_(-sqrt(R^2-x^2))^(sqrt(R^2-x^2))int_0^(h(b-R+x)/b)xdzdydx,
(29)

對於半圓柱楔形，質心由下式給出

x^_=int_0^Rint_(-sqrt(R^2-x^2))^(sqrt(R^2-x^2))int_0^(hx/R)xdzdydx,
(30)

給出

<x>=3/(16)piR
(31)
<y>=0
(32)
<z>=3/(32)pih.
(33)

另請參閱

圓柱截面, 圓柱蹄, 圓柱段, 普呂克圓錐曲面, 楔形體, 楔形

使用 探索

參考文獻

Gregory of St. Vincent. Opus Geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. 1647.Harris, J. W. and Stocker, H. "Obliquely Cut Circular Cylinder" and "Segment of a Cylinder." §4.6.3-4.6.4 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 103-104, 1998.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Truncated Prism (or Cylinder)." §31 in Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 81-83 and 127, 1948.

在 中被引用

圓柱楔形

請引用為

Weisstein, Eric W. "圓柱楔形。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/CylindricalWedge.html

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