龐加萊不等式

設 是 開、有界和 連通 的 子集 對於某個 ，並設 表示 維 勒貝格測度 在 上。在 泛函分析 中，龐加萊不等式指出存在常數 和 ，使得

對於 索博列夫空間 中的所有函式 ，該空間由 中所有 廣義 導數 也都是 平方可積 的函式組成。

這個不等式在 函式空間 和 偏微分方程 的研究中都起著重要作用。因此，已經建立了許多推廣，用於不太規則的區域 和函式 ，例如，多面體區域 和僅在 上分段表現良好的函式 。

在某些文獻中，上述龐加萊不等式有時被稱為平均龐加萊不等式，而未限定的短語“龐加萊不等式”則保留給所謂的（且密切相關的）弗里德里希斯不等式。與弗里德里希斯和龐加萊不等式在性質上相似的不等式有時統稱為 龐加萊-弗里德里希斯不等式。