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單葉雙曲面

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雙曲面是一種二次曲面，可以是單葉或雙葉的。單葉雙曲面是透過繞雙曲線的兩個焦點之間連線的垂直平分線旋轉而獲得的旋轉曲面 (Hilbert and Cohn-Vossen 1991, p. 11)。

單葉雙曲面也可以透過繞空間對角線旋轉立方體的包絡線獲得 (Steinhaus 1999, pp. 171-172)。三條偏斜線總是定義一個單葉雙曲面，除非它們都平行於一個平面但不彼此平行 (Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 15)。

HyperboloidWireframe

單葉雙曲面可以透過用傾斜的金屬絲連線兩個同心的垂直偏移環來構造，如上圖所示 (Steinhaus 1999, pp. 242-243; Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 11)。令人驚訝的是，當金屬絲固定在一起，只允許旋轉但不允許滑動時，當一個環相對於另一個環旋轉時，框架可以展開和摺疊 (Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 16-17 和 29-31)。

Hyperboloid1Sheeted1
Hyperboloid1Sheeted2
Hyperboloid1Sheeted3

單葉圓雙曲面是一種雙重直紋曲面。當沿z軸定向時，裙部半徑為 a 的單葉圓雙曲面具有笛卡爾方程

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(a^2)-(z^2)/(c^2)=1,
(1)

和引數方程

x=asqrt(1+u^2)cosv
(2)
y=asqrt(1+u^2)sinv
(3)
z=cu
(4)

對於 v in [0,2pi) (左圖)。

一個明顯的推廣給出了單葉橢圓雙曲面。

其他引數化包括

x(u,v)=a(cosu∓vsinu)
(5)
y(u,v)=a(sinu+/-vcosu)
(6)
z(u,v)=+/-cv,
(7)

(中圖)，或

x(u,v)=acoshvcosu
(8)
y(u,v)=acoshvsinu
(9)
z(u,v)=csinhv
(10)

(右圖)。

第一個引數化的第一基本形式的係數由下式給出

E=c^2+(a^2u^2)/(u^2+1)
(11)
F=0
(12)
G=a^2(u^2+1),
(13)

和第二基本形式的係數由下式給出

e=-(ac)/((1+u^2)sqrt(c^2+(a^2+c^2)u^2))
(14)
f=0
(15)
g=(ac(1+u^2))/(sqrt(c^2+(a^2+c^2)u^2)).
(16)

高斯曲率和平均曲率由下式給出

K(u,v)=-(c^2)/([c^2+(a^2+c^2)u^2]^2)
(17)
H(u,v)=(c^2[a^2(u^2-1)+c^2(u^2+1)])/(2a[c^2+(a^2+c^2)u^2]^(3/2)),
(18)

並且高斯曲率可以隱式地表示為

K(x,y,z)=-(c^6)/((c^4+a^2z^2+c^2z^2)^2).
(19)

半高為 h/2，引數為 a 和 c 的單葉雙曲面的表面積因此為

S=2pia[(hsqrt((a^2+c^2)[4c^4+(a^2+c^2)h^2]))/(4c^2)+(c^2sinh^(-1)((hsqrt(a^2+c^2))/(2c^2)))/(sqrt(a^2+c^2))],
(20)

並且體積由下式給出

V=int_(-h/(2c))^(h/(2c))pia^2(u^2+1)(cdu)
(21)
=piha^2(1+(h^2)/(12c^2))
(22)

(Harris and Stocker 1998, p. 112)。令 R 為頂部橫截面的半徑，得到

R=asqrt(1+(h^2)/(4c^2)),
(23)

因此體積可以重新表示為

V=1/3pih(2a^2+R^2)
(24)

(Harris and Stocker 1998, p. 112)。

單葉雙曲面的支撐函式

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1
(25)

是

h=((x^2)/(a^4)+(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(26)

並且高斯曲率是

K=-(h^4)/(a^2b^2c^2).
(27)

雙葉雙曲面的支撐函式

(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1
(28)

是

h=((x^2)/(a^4)-(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(29)

並且高斯曲率是

K=(h^4)/(a^2b^2c^2)
(30)

(Gray 1997, p. 414)。

另請參閱

雙曲面, 雙葉雙曲面

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 227, 1987.Fischer, G. (Ed.). Plates 67 and 69 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 62 and 64, 1986.Gray, A. "The Hyperboloid of Revolution." §20.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 470, 1997.Harris, J. W. and Stocker, H. "Hyperboloid of Revolution." §4.10.3 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Hyperboloid." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Hyperboloid.html.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 112-113, 1991.

在 上引用

單葉雙曲面

請引用為

Weisstein, Eric W. "單葉雙曲面。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/One-SheetedHyperboloid.html

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