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自戀數

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一個 n 位數字的數，如果它等於其 n 位數字的 冪之和，則稱為 n 位自戀數。它有時也稱為阿姆斯特朗數、完美數字不變數 (Madachy 1979) 或加完美數。 Hardy (1993) 寫道：“在單位數之後，只有四個數字是其數字立方和：153=1^3+5^3+3^3、370=3^3+7^3+0^3、371=3^3+7^3+1^3 和 407=4^3+0^3+7^3。 這些是很奇怪的事實，非常適合謎題專欄，並且可能讓業餘愛好者感到有趣，但其中沒有任何東西能吸引數學家。” 因此，自戀數將這些“無趣”的數字推廣到其他冪（Madachy 1979，第 164 頁）。

除了平凡的 1 位數字之外，最小的自戀數示例是

153=1^3+5^3+3^3.
(1)

前幾個自戀數由 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208、9474、54748、... (OEIS A005188) 給出。

可以很容易地證明，以 10 為基數的 n 位自戀數僅在 n<=60 時存在，因為

n·9^n<10^(n-1)
(2)

對於 n>60。 事實上，如下表總結的那樣，以 10 為基數總共存在 88 個自戀數，這由 D. Winter 於 1985 年證明，並由 D. Hoey 驗證。 T. A. Mendes Oliveira e Silva 在釋出到sci.math在 1994 年 5 月 9 日的文章（第 42889 號）中給出了完整的序列。 這些數字僅存在於 1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、14、16、17、19、20、21、23、24、25、27、29、31、32、33、34、35、37、38 和 39 (OEIS A114904) 位數中，並且 n 位數最小自戀數的序列為 0、(無)、153、1634、54748、548834、... (OEIS A014576)。

n以 10 為基數的 n 位自戀數
10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3153, 370, 371, 407
41634, 8208, 9474
554748, 92727, 93084
6548834
71741725, 4210818, 9800817, 9926315
824678050, 24678051, 88593477
9146511208, 472335975, 534494836, 912985153
104679307774
1132164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
1428116440335967
164338281769391370, 4338281769391371
1721897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
191517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
2063105425988599693916
21128468643043731391252, 449177399146038697307
2321887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
251550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
2914607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
311145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
3217333509997782249308725103962772
33186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
341122763285329372541592822900204593
3512639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
371219167219625434121569735803609966019
3812815792078366059955099770545296129367
39115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401

下表給出了前幾個以 b 為基數的自戀數，適用於小基數 b。 Pickover (1995) 給出了各種基數中已知的最大自戀數的表格，而 Corning 給出了各種基數中自戀數的製表。

bOEIS以 b 為基數的自戀數
21
31, 2, 5, 8, 17
4A0103441, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243
5A0103461, 2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113
6A0103481, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, ...
7A0103501, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, ...
8A0103541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, ...
9A0103531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, ...

一組密切相關的數字將自戀數推廣到 n 位數字的數，這些數是其數字的任何單冪之和。 例如，4150 是一個 4 位數字的數，它是其數字的五次冪之和。 由於對於這樣的數字，數字位數不等於它們被取冪的冪，因此它們不是自戀數。 作為其數字的任何單正冪之和的最小數字是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、4150、4151、8208、9474、... (OEIS A023052)，冪為 1、1、1、1、1、1、1、1、1、3、3、3、3、4、5、5、4、4、... (OEIS A046074)。

另一組相關數字是明希豪森數，它們是等於其數字的冪（每個數字為其自身的冪）之和的數字。

對於 n=3、4、...，等於其數字的 n 次冪之和的最小數字是 153、1634、4150、548834、1741725、... (OEIS A003321)。 等於其數字的 n 次冪之和的 n 位數（有限序列）稱為阿姆斯特朗數或加完美數，由 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208、9474、54748、... (OEIS A005188) 給出。

如果將求 k 次冪數字和運算迭代應用於數字 n 最終返回到 n，則序列中最小的數字稱為 k 次迴圈數字不變數。

等於其數字的連續冪之和的數字由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、89、135、175、518、598、1306、1676、2427、2646798 (OEIS A032799) 給出，例如，

2646798=2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7.
(3)

對於 n=1、2、...，透過對 d 位數 n 的數字求 d 次冪之和獲得的值為 1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、5、10、17、26、... (OEIS A101337)。

另請參閱

加法永續性、數字根、數字加法、哈沙德數、卡普雷卡爾數、明希豪森數、乘法數字根、乘法永續性、強力數、迴圈數字不變數、吸血鬼數

使用 探索

參考文獻

更新連結Corning, T. "指數數字不變數。" http://members.aol.com/tec153/Edi4web/Edi.htmlDeimel, L. E. Jr. 和 Jones, M. T. "尋找超完美數字不變數：技術、結果和觀察。" J. Recr. Math. 14, 97-108, 1981.Hardy, G. H. 一位數學家的辯白。 紐約：劍橋大學出版社，第 105 頁，1993 年。Heinz, H. "自戀數。" http://www.magic-squares.net/narciss.htm。Keith, M. "狂野的自戀數。" http://users.aol.com/s6sj7gt/mikewild.htm。Lamoitier, J. P. "五十個基本練習。" SYBEX Inc., 1981.Madachy, J. S. "自戀數。" Madachy 的數學娛樂。 紐約：多佛出版社，第 163-173 頁，1979 年。Pickover, C. A. 通往無限的鑰匙。 紐約：威利出版社，第 169-170 頁，1995 年。Pickover, C. A. "關於自戀數的最新八卦。" 第 88 章，數字的奇蹟：數學、思維和意義的冒險。 英國牛津：牛津大學出版社，第 204-205 頁，2001 年。Rivera, C. "問題與謎題：謎題 015-自戀素數和英俊素數。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_015.htm。Roberts, J. 整數的誘惑。 華盛頓特區：美國數學協會，第 35 頁，1992 年。Rumney, M. "數字不變數。" Recr. Math. Mag. 第 12 期，6-8 頁，1962 年 12 月。Sloane, N. J. A. 序列 A005188/M0488, A003321/M5403, A010344, A010346, A010348, A010350, A010353, A010354, A014576, A023052, A032799, A046074, A101337, 和 A114904 在“整數序列線上百科全書”中。

在 上引用

自戀數

引用為

Weisstein, Eric W. "自戀數。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/NarcissisticNumber.html

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