將數字 
的所有位數彼此相乘，並重復此過程，直到獲得個位數。所需的步驟數稱為乘法永續性，最終獲得的數字稱為 乘法數字根 
。
例如，從起始數字 9876 獲得的序列是 (9876, 3024, 0)，因此 9876 的乘法永續性為 2，乘法數字根 為 0。前幾個正整數的乘法永續性為 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, ... (OEIS A031346)。乘法永續性為 1, 2, ... 的最小數字為 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899, ... (OEIS A003001; Wells 1986, p. 78)。沒有小於 
且乘法永續性大於 
的數字 (Carmody 2001; 更新了 Wells 1986, p. 78)。據推測，在永續性為 11 的情況下，缺少數字 1 的最大數字是
 |
有一個更強的猜想，對於每個大於 
的永續性，都存在一個缺少數字 1 的最大數字。
以 2 為基數的最大乘法永續性為 1。據推測，所有大於 
的 2 的冪在以 3 為基數時都包含 0，這將意味著以 3 為基數的最大永續性為 3 (Guy 1994)。
一個 
-位數 的數字的乘法永續性也稱為其 數字長度。對於 
-, 2-, 3-, ..., 位數的數字，最大長度分別為 0, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, ... (OEIS A014553; Beeler 1972; Gottlieb 1969, 1970)。具有最大乘法永續性的 
位數數字的數量，對於 
, 2, ..., 分別為 10 (包括數字 0), 1, 9, 12, 20, 2430, ... (OEIS A046148)。具有最大乘法永續性的最小 
位數數字為 0, 77, 679, 6788, 68889, 168889, ... (OEIS A046149)。具有最大乘法永續性的最大 
位數數字為 9, 77, 976, 8876, 98886, 997762, ... (OEIS A046150)。不同的 
位數數字（除了 0）的數量由 
給出，對於 
, 2, 3, ..., 結果為 54, 219, 714, 2001, 5004, 11439, ... (OEIS A035927)。
乘法永續性的概念可以推廣到將數字的 
次冪相乘，並迭代直到結果保持不變。除 迴圈單位（收斂於 1）之外的所有數字都收斂於 0。數字的 
次冪收斂到 0 所需的迭代次數稱為其 
-乘法永續性。下表給出了前幾個正整數的 
-乘法永續性。
 | Sloane |  -永續性 |
| 2 | A031348 | 0, 7, 6, 6, 3, 5, 5, 4, 5, 1, ... |
| 3 | A031349 | 0, 4, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 1, ... |
| 4 | A031350 | 0, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, ... |
| 5 | A031351 | 0, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 1, ... |
| 6 | A031352 | 0, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, ... |
| 7 | A031353 | 0, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, ... |
| 8 | A031354 | 0, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 1, ... |
| 9 | A031355 | 0, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1, ... |
| 10 | A031356 | 0, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, ... |
Erdős 建議忽略所有零，並表明最多需要 
步才能將 
減少到個位數，其中 
取決於基數。
乘法永續性為 
, 2, 3, ... 的最小素數是 2, 29, 47, 277, 769, 8867, 186889, 2678789, 26899889, 3778888999, 277777788888989, ... (OEIS A046500)。
